Principio fundamental del muestreo aleatorio

01 · Punto de partida

El azar que sí representa

No cualquier azar sirve. Tirar una moneda justa no representa la demanda de un negocio ni el tiempo entre fallas. El principio fundamental dice: si la muestra se genera con la misma distribución que la realidad, el promedio muestral estima la realidad.

Por eso el corazón de Monte Carlo no es el promedio: es sortear bien. Un mal muestreo arruina millones de réplicas; un buen muestreo hace que mil alcancen.

• ¿Qué distribución tiene mi incertidumbre?
• ¿Cómo la convierto en sorteos en Python?
• ¿Mis sorteos son independientes e idénticos (iid)?
• ¿La muestra se parece a la realidad cuando N crece?

02 · Definición

Muestrear es imitar la distribución

03 · Cómo funciona

De la incertidumbre al sorteo en 3 pasos

1. 1
   Observar.

   ¿La demanda es 10, 20 o 30 con qué frecuencia? ¿El tiempo de falla es exponencial? Los datos sugieren F.

2. 2
   Elegir F.

   Uniforme si todo vale igual, Bernoulli si es sí/no, normal si hay campana, empírica si solo tengo tabla de frecuencias.

3. 3
   Sortear iid.

   Un sorteo por réplica, sin memoria: no reutilizar el mismo número, no «compensar» rachas.

iid

Independientes e idénticamente distribuidos: la condición que exige la Ley de los Grandes Números. Sin iid, no hay garantía.

Semilla

Número inicial del generador. Igual semilla = igual muestra: sirve para depurar y para reproducir.

Tamaño N

Más N = muestra más fiel, pero el error cae lento (1/√N). Primero elegir bien F, después agrandar N.

04 · Ejemplos

Cinco sorteos de todos los días

1. 1
   Punto en [0,1].

   random.random(). Promedio → 0,5. Base de áreas e integrales.

2. 2
   Dado.

   randint(1,6). Promedio → 3,5. Cada cara debe salir ~1/6.

3. 3
   Compra sí/no.

   random() < 0.3. Promedio → 0,3. Así se simula riesgo y conversión.

4. 4
   Demanda con pesos.

   choices([10,20,30], weights=[50,30,20]). Promedio → 10·0,5 + 20·0,3 + 30·0,2 = 17.

5. 5
   Ruido normal.

   gauss(100, 15). Promedio → 100. Así se modela error de medición e incertidumbre continua.

05 · Representación en Python

La caja de herramientas random

Casi todo Monte Carlo estático sale de estas cinco funciones. Aprendelas de memoria.

import random

N = 10000
uniformes = [random.random() for _ in range(N)]
dados = [random.randint(1, 6) for _ in range(N)]
compras = [1 if random.random() < 0.3 else 0 for _ in range(N)]

print("U(0,1) →", sum(uniformes) / N, "(teórico 0.5)")
print("Dado →", sum(dados) / N, "(teórico 3.5)")
print("Bernoulli(0.3) →", sum(compras) / N, "(teórico 0.3)")

Consejo: corré dos veces con N = 100 y con N = 10 000. El temblor con N chico es la lección.

Demanda empírica con pesos

import random

valores = [10, 20, 30]
pesos = [50, 30, 20]
N = 10000
muestra = random.choices(valores, weights=pesos, k=N)
print("Promedio:", sum(muestra) / N, "(teórico 17.0)")
print("Frecuencias:", {v: muestra.count(v) / N for v in valores})

06 · Exploración

Laboratorio: la muestra copia a la realidad

Elegí la distribución y la cantidad de sorteos. El histograma verde es tu muestra; la línea amarilla es el valor teórico y la celeste tu promedio. Con N grande se abrazan.

Barras: frecuencia de cada intervalo o valor. Línea amarilla punteada: teoría. Línea celeste: tu promedio. Si sorteás bien, con N grande coinciden.

Preguntas para explorar

1. Con Uniforme y N = 200, ¿las 10 barras son parejas? ¿Y con N = 20 000?
2. Con Dado y N = 300, ¿alguna cara «desaparece»? ¿Qué pasa con N = 12 000?
3. Con Bernoulli(0,3), ¿por qué la barra del 0 es más alta que la del 1 aunque el sorteo sea justo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: verificar el dado

Sorteá 6 000 dados y comprobá que cada cara sale ~1/6 y el promedio ~3,5.

import random

N = 6000
tiradas = [random.randint(1, 6) for _ in range(N)]
print("Promedio:", sum(tiradas) / N)
for cara in range(1, 7):
    print(cara, tiradas.count(cara) / N)

Ejercicio 2: Bernoulli a mano

Sin usar choices: simulá 5 000 clientes que compran con p = 0,3 usando random() y estimá la proporción.

import random

N = 5000
compras = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < 0.3)
print(compras / N)

Ejercicio 3: demanda empírica

La demanda es 0, 1 o 2 unidades con probabilidades 0,2, 0,5 y 0,3. Escribí generar_demanda() y estimá la demanda media teórica (1,1) con N = 10 000.

import random

def generar_demanda():
    r = random.random()
    if r < 0.2:
        return 0
    if r < 0.7:
        return 1
    return 2

N = 10000
m = sum(generar_demanda() for _ in range(N)) / N
print(m)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos la simulación estática: el marco donde estas muestras independientes se convierten en decisiones.