Problemas financieros

01 · Punto de partida

Una opción es una esperanza

Una call paga max(S−K, 0) al vencimiento. Si S terminal es lognormal, el precio justo es e^(−rT)·E[max(S−K,0)]. Sin fórmula a mano: se sortean S, se promedia el pago y se descuenta.

El mismo motor da cartera, VaR y probabilidad de ejercer.

• ¿Qué distribución tiene S terminal?
• ¿Cuál es el pago por réplica?
• ¿Con qué tasa descuento?
• ¿Qué N estabiliza el precio?

02 · Definición

Tres salidas financieras

03 · Método

1. 1
   Sortear S.

   Z ~ N(0,1) y S = S₀·exp((r−σ²/2)T + σ√T·Z).

2. 2
   Calcular pago.

   max(S−K, 0): cero si no se ejerce.

3. 3
   Descontar y promediar.

   Precio = e^(−rT)·media ± e^(−rT)·s/√N.

Riesgo neutro

Se usa r como deriva para preciar (no la real μ): convención de no arbitraje.

σ (volatilidad)

Manda el precio: más σ = más chance de S alto = call más cara.

N grande

Pagos con muchos ceros piden N ≥ 20 000 para estabilizar.

04 · Ejemplos

1. 1
   Call K = 100.

   ~10,4 con σ = 20%. Sube a ~14 con σ = 30%.

2. 2
   Cartera 60/40.

   R = 0,6·R₁ + 0,4·R₂: media y VaR del mix.

3. 3
   Seguro.

   Prima = E[pago] + recargo: la misma esperanza con otro nombre.

05 · Representación en Python

Call en 10 líneas

import random
import math

def precio_call(S0=100, K=100, r=0.05, sigma=0.2, T=1, N=20000):
    tot = 0
    ejerce = 0
    for _ in range(N):
        z = random.gauss(0, 1)
        S = S0*math.exp((r-0.5*sigma**2)*T + sigma*math.sqrt(T)*z)
        pago = max(S-K, 0)
        tot += pago
        if pago > 0:
            ejerce += 1
    return math.exp(-r*T)*tot/N, ejerce/N

precio, p = precio_call()
print(f"precio {precio:.2f} P(ejercer) {p:.2f}")

06 · Exploración

Laboratorio: K y σ mueven el precio

Histograma de S terminal (S₀ = 100). La amarilla es K: solo lo de la derecha paga. Subí σ y la cola gorda encarece.

Barras verdes a la derecha de K pagan; grises no. Más σ ensancha y encarece aunque la media de S sea parecida.

Preguntas para explorar

1. Con K = 80, ¿P(ejercer) supera 80%? ¿Y con K = 120?
2. Con σ = 0,4, ¿el precio sube o baja vs σ = 0,15?
3. ¿Por qué la call nunca vale menos que S₀ − K·e^(−rT)?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: call base

Preciá K = 100, σ = 0,2 con N = 15 000.

import random
import math

S0, K, r, sigma, N = 100, 100, 0.05, 0.2, 15000
tot = 0
for _ in range(N):
    S = S0*math.exp((r-0.5*sigma**2) + sigma*random.gauss(0,1))
    tot += max(S-K, 0)
print(round(math.exp(-r)*tot/N, 2))

Ejercicio 2: subir σ

Repetí con σ = 0,4. ¿Cuánto sube?

import random
import math

def precio(sigma):
    tot = sum(max(100*math.exp((0.05-0.5*sigma**2)+sigma*random.gauss(0,1))-100, 0) for _ in range(12000))
    return math.exp(-0.05)*tot/12000

print(round(precio(0.2), 2), round(precio(0.4), 2))

Ejercicio 3: cartera 60/40

R₁ ~ N(0,08, 0,15), R₂ ~ N(0,03, 0,05). Estimá media y VaR₅ del mix.

import random

N = 15000
rs = sorted(0.6*random.gauss(0.08, 0.15)+0.4*random.gauss(0.03, 0.05) for _ in range(N))
print(round(sum(rs)/N, 4), round(rs[int(0.05*N)], 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema stockearemos bajo azar: la simulación de inventarios.