Sistemas probabilísticos

01 · Punto de partida

Cuando la combinatoria se rinde

¿Probabilidad de que 23 personas compartan cumpleaños? ¿De que una red con 5 links siga conectada? El espacio muestral es gigante pero sortearlo es trivial: cada réplica es un mundo posible y P = mundos buenos/N.

Es Monte Carlo en estado puro: indicadora por réplica, promedio como probabilidad.

• ¿Qué es un «mundo» en mi sistema?
• ¿Cómo lo sorteo columna por columna?
• ¿Cómo testeo el evento con 0/1?
• ¿Qué N estabiliza P?

02 · Definición

Mundo, test y conteo

03 · Método

1. 1
   Sortear el mundo.

   Todas las columnas iid con su F. Un mundo por réplica.

2. 2
   Evaluar 0/1.

   Función determinista sobre el mundo: camino, coincidencia, suma.

3. 3
   Promediar ±.

   p̂ ± 1,96·√[p̂(1−p̂)/N]. Eventos raros piden N ≥ 10/p.

Verificación

Probar con n chico exacto (n = 5 cumpleaños) antes del grande.

Raros

p = 0,001 pide 10 000 para ver 10 casos. Sin casos no hay P.

Determinismo

Dado el mundo, el test no sortea: la única fuente de azar es el mundo.

04 · Ejemplos

1. 1
   Cumpleaños 23 → 50,7%.

   La intuición dice 10%; Monte Carlo dice 50%. Gana el conteo.

2. 2
   Red puente.

   Con links 0,9, P(conexión) ≈ 97%: redundancia que se mide.

3. 3
   Suma ≥ 15 con 3 dados → 20/216.

   Verificable a mano: test del estimador.

05 · Representación en Python

Mundos como listas, test como any

import random

def prob_cumple(n, N=20000):
    casos = 0
    for _ in range(N):
        mundo = [random.randint(1, 365) for _ in range(n)]
        if len(set(mundo)) < n:
            casos += 1
    return casos / N

for n in [10, 23, 40]:
    print(n, round(prob_cumple(n), 3))

import random

def prob_red(p=0.9, N=20000):
    # red serie-paralelo: A-1-B y A-2-B en paralelo, links con p
    casos = 0
    for _ in range(N):
        l1, l2 = random.random() < p, random.random() < p
        if l1 or l2:
            casos += 1
    return casos / N

print(round(prob_red(), 4), "(exacta 0.99)")

06 · Exploración

Laboratorio: 23 bastan para el 50%

Mové n (personas). La curva gris es la exacta; el punto verde tu Monte Carlo con ±2SE. Con n = 23 cruza el 50%.

La curva sube en S: con 40 ya supera 89%. Tu punto debe vivir sobre ella dentro del ±.

Preguntas para explorar

1. Con n = 10, ¿P ronda 12%? ¿Y con n = 50?
2. ¿Por qué la intuición «n/365» falla tan mal?
3. ¿Qué N necesitarías para p = 1% con n = 5?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: n = 23

Estimá con N = 20 000 y compará con 0,507.

import random

N, n = 20000, 23
c = sum(1 for _ in range(N) if len({random.randint(1,365) for _ in range(n)}) < n)
print(c/N)

Ejercicio 2: exacta vs MC

Calculá la exacta para n = 10 y compará.

p = 1.0
for i in range(10):
    p *= (365-i)/365
print(1-p)

Ejercicio 3: red en paralelo

Dos links p = 0,8 en paralelo: estimá P(conexión).

import random

N = 20000
print(sum(1 for _ in range(N) if random.random()<0.8 or random.random()<0.8)/N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema optimizaremos barriendo: la optimización mediante simulación.