Condiciones iniciales

01 · Punto de partida

La misma regla, infinitas historias

La ecuación dN/dt = 3 − 0,2·N sola no elige curva: desde N = 2 sube, desde N = 28 baja, desde N = 15 se queda. Lo que elige es la condición inicial x(0) = x₀: el punto donde la historia se sube a la regla.

Sin arranque no hay simulación: el integrador necesita un valor para evaluar la primera tasa. Y sin arranque declarado, el resultado no es reproducible.

• ¿En qué valores arranca cada estado?
• ¿Vienen medidos, supuestos o calibrados?
• ¿Cuánto pesa el arranque en el horizonte elegido?
• ¿Qué pasa si el arranque está mal medido?

02 · Definición

¿Qué es una condición inicial?

Un número por estado, en t = 0 (o t₀), con tres decisiones:

EDO + condición inicial = problema de valor inicial: el objeto que el simulador resuelve. Cambiar x₀ sin avisar es cambiar de problema.

03 · Anatomía

Cuánto pesa el arranque

El peso de x₀ depende de la dinámica, no de tu voluntad:

Se olvida

Convergencia lineal: el desvío decae como e^(−k·t). En T grande, todo N₀ llega a N*.

Escala todo

Exponencial: P(t) = P₀·e^(r·t). Duplicar P₀ duplica toda la curva, siempre.

Decide el destino

Múltiples equilibrios o caos: el arranque elige cuenca. Lo veremos en Temas 25–27.

Vector completo

En sistemas, cada estado necesita el suyo: S(0), I(0), R(0). Uno inventado contamina a todos.

04 · Arranques en modelos clásicos

Cada modelo pide su x₀

El arranque es parte del modelo, no un detalle de código:

1. 1
   Tanque.

   N(0): nivel medido hoy a las 0 h. Sin él no hay historia.

2. 2
   Temperatura.

   T(0): la taza sale a 80 °C. El ambiente es entrada, no arranque.

3. 3
   Población.

   P₀: conteo inicial. Cada individuo de más se multiplica.

4. 4
   SIR.

   [S, I, R](0) = [990, 10, 0]: un infectado de más cambia el pico.

5. 5
   Resorte.

   [x, v](0) = [3, 0]: soltar quieto no es lanzar.

05 · Representación en Python

x₀ es un argumento más, siempre explícito

En Python, la condición inicial es el argumento inicial del integrador: nunca global oculta, nunca «el último valor que quedó».

import math


def exponencial(p0, r, t):
    return p0 * math.exp(r * t)


for p0 in [10, 15, 20]:
    print(p0, "→", round(exponencial(p0, 0.3, 10), 1))

10 → 200,9 · 15 → 301,3 · 20 → 401,7: el cociente se conserva porque P₀ factoriza.

Cociente que delata la escala

Si el modelo escala con x₀, el cociente final entre dos arranques es constante:

def cociente(p0_a, p0_b, r=0.3, t=10):
    return exponencial(p0_b, r, t) / exponencial(p0_a, r, t)


print(round(cociente(10, 15), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: el arranque que no se olvida

Exponencial dP/dt = r·P desde P₀ (dorada) y desde 1,5·P₀ (teal). Cambiá r o P₀ y observá que el cociente final no se mueve: en divergencia, el inicio escala toda la historia.

En escala lineal el abanico se abre; en logaritmo serían paralelas: la firma de la exponencial es cociente constante.

Preguntas para explorar

1. Con r = 0,05, ¿el cociente final sigue en 1,5? ¿Y la diferencia absoluta?
2. Si el factor es 2 y P₀ = 5, ¿a qué valor llega la segunda curva en T = 10 con r = 0,3?
3. ¿Qué pasaría con este cociente en el tanque lineal del Tema 5?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: una EDO, dos historias

Con q = 3 y k = 0,2, calculá N(10) desde N₀ = 2 y desde N₀ = 28. ¿Se acercan?

import math


def n_t(n0, q=3, k=0.2, t=10):
    return q / k + (n0 - q / k) * math.exp(-k * t)


print(round(n_t(2), 2), round(n_t(28), 2))

Ejercicio 2: escala exponencial

Desde P₀ = 8 con r = 0,25 en T = 8, ¿cuánto da? ¿Y desde el doble? Verificá el cociente.

import math


def p_t(p0, r=0.25, t=8):
    return p0 * math.exp(r * t)


a, b = p_t(8), p_t(16)
print(round(a, 1), round(b, 1), round(b / a, 3))

Ejercicio 3: vector inicial SIR

Armá el vector [S, I, R](0) con N = 1000 e I₀ = 1, 10 y 100. ¿Qué cambia y qué se conserva?

def vector_sir(n, i0):
    return {"S": n - i0, "I": i0, "R": 0}


for i0 in [1, 10, 100]:
    print(i0, vector_sir(1000, i0))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos modelos nacidos de leyes naturales: cuando la física escribe f por nosotros.