Leyes naturales

01 · Punto de partida

Cuando la regla ya existe

La taza no «elige» cómo enfriarse: el flujo de calor va del cuerpo caliente al ambiente según la diferencia de temperaturas. El tanque no negocia: lo que entra menos lo que sale se acumula. Estas leyes naturales —conservación de masa y energía, Newton, Fourier— escriben f antes de que abramos el editor.

Modelar desde leyes es partir con ventaja: la estructura es conocida y solo quedan pocos parámetros por calibrar.

• ¿Qué se conserva: masa, energía, población?
• ¿Qué flujo cruza la frontera y según qué diferencia?
• ¿Qué parámetro resume el material o el ambiente (k)?
• ¿Dónde termina el sistema si nadie lo toca?

02 · Definición

¿Qué es un modelo basado en leyes?

Tres leyes cubren casi todo el curso:

La ley fija la forma (lineal en la diferencia); los datos solo ajustan k y las condiciones. Por eso estos modelos extrapolan mejor que los puramente ajustados.

03 · Anatomía

Balance, flujo y parámetro k

Todo modelo de leyes se arma igual:

Frontera y X

Qué se acumula dentro: litros, joules, individuos. Sin frontera no hay balance.

Flujos con signo

Entradas positivas, salidas negativas, cada una con sus unidades por tiempo.

k del material

Conductividad, desagüe, transferencia: resume geometría y material en un número.

Ambiente impuesto

T_amb, q_in, F: el entorno que el sistema no decide pero que lo arrastra.

04 · Leyes en modelos clásicos

La misma física, cinco disfraces

Cada modelo del curso es un balance con su diferencia:

1. 1
   Tanque.

   Balance de masa con salida k·N: dN/dt = q − k·N.

2. 2
   Taza.

   Energía con flujo k·(T − T_amb): dT/dt = −k·(T − T_amb).

3. 3
   Regulador.

   Dos cuerpos que intercambian k·(T₁ − T₂): convergen al medio.

4. 4
   Caída con aire.

   Newton con freno −c·v: velocidad límite mg/c.

5. 5
   Mezcla salina.

   Balance de sal con caudales: concentración que converge.

05 · Representación en Python

Del balance a f(estado, t)

En Python, la ley es una función de flujos con nombre: cada término conserva sus unidades y su signo. El balance los suma.

def flujo_calor(t, t_amb, k):
    return k * (t - t_amb)


def f_enfriamiento(t, t_amb=20, k=0.1):
    return -flujo_calor(t, t_amb, k)


for t in [80, 50, 30]:
    print(t, "→", round(f_enfriamiento(t), 2))

−6, −3, −1 °C/min: el flujo muere con la diferencia. La ley está en el código.

Solución con la ley adentro

La exacta hereda la forma exponencial hacia el ambiente:

import math


def temperatura(t0, t_amb, k, t):
    return t_amb + (t0 - t_amb) * math.exp(-k * t)


print(round(temperatura(80, 20, 0.1, 10), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: la taza que obedece a Newton

Enfriamiento dT/dt = −k·(T − T_amb) desde T₀ = 80 °C. La punteada es T_amb: el atractor impuesto por el ambiente. Movete k y T_amb y observá que la forma es siempre la misma exponencial, solo cambian destino y velocidad.

Todas las curvas son la misma exponencial trasladada: la ley fija la forma, el ambiente fija el destino, k fija la velocidad.

Preguntas para explorar

1. Con T_amb = 0 y T(0) = 80, ¿a dónde converge? ¿Cambia la forma?
2. Duplicá k. ¿La vida media se duplica o se parte a la mitad?
3. Si T(0) = 10 con ambiente 20, ¿la curva sube o baja? ¿La ley sigue valiendo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: flujo con signo

Con k = 0,1 y T_amb = 20, calculá el flujo k·(T − T_amb) y dT/dt en T = 80 y T = 10.

def flujo(t, t_amb=20, k=0.1):
    return k * (t - t_amb)


for t in [80, 10]:
    print(t, "flujo:", round(flujo(t), 2), "dT/dt:", round(-flujo(t), 2))

Ejercicio 2: vida media

¿En cuánto se reduce a la mitad la diferencia T − T_amb con k = 0,1? ¿Y con k = 0,05?

import math


def vida_media(k):
    return round(math.log(2) / k, 2)


print(vida_media(0.1), vida_media(0.05))

Ejercicio 3: balance completo

Agregá una fuente (microondas de 2 °C/min) al enfriamiento y hallá el nuevo equilibrio. Probalo con k = 0,1 y T_amb = 20.

def equilibrio_fuente(potencia, k=0.1, t_amb=20):
    return t_amb + potencia / k


print(equilibrio_fuente(2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos modelos al revés: desde las observaciones hacia la ecuación.