01 · Punto de partida
Cuando la física no alcanza
A veces no hay ley a mano: medimos niveles cada hora y la curva sube cada vez más rápido. ¿Exponencial? ¿Logística? ¿Potencia? El camino inverso es proponer una forma para f, estimar sus parámetros desde los datos y medir cuánto se equivoca.
Este es el puente hacia la calibración (Tema 39): aquí se aprende el gesto —proponer, ajustar, comparar— con un caso simple y visual.
- ¿Qué forma sugiere el gráfico: recta, curva que se empina, S?
- ¿Cuántos parámetros tiene y qué significan?
- ¿Cuánto se equivoca en cada punto (residuo)?
- ¿Ajusta o sobreajusta con tanto parámetro?
02 · Definición
¿Qué es un modelo basado en observaciones?
Tres pasos inseparables:
Forma
La hipótesis: dP/dt = r·P, recta, logístico. La elige el ojo y la física aproximada.
Ajuste
Los números: r y P₀ que minimizan el error cuadrático medio (ECM) contra los datos.
Residuo
Lo que falta: dato menos modelo en cada t. Sin patrón es ruido; con patrón es forma equivocada.
El ECM resume el ajuste en un número; los residuos cuentan dónde falla. Un ECM chico con residuos con forma es una alarma: la forma no es la del fenómeno.
| Forma | Sospechar si… | Parámetros |
|---|---|---|
| Recta | Sube parejo, residuos sin forma. | Pendiente y ordenada. |
| Exponencial | Se empina; en log es recta. | r y P₀. |
| Logístico | Se empina y se frena en S. | r, K y P₀. |
| Polinomio libre | Solo si hay muchos datos. | Tantos como grado: frágil. |
03 · Anatomía
Datos, modelo y residuos
El triángulo del ajuste empírico:
- Datos
- Pares (t, dato) con ruido y rango limitado: solo valen donde se midieron.
- Modelo
- Curva P(t) = P₀·e^(r·t): dos parámetros con sentido (arranque y velocidad).
- ECM
- Promedio de residuos al cuadrado: castiga mucho los errores grandes.
- Sobreajuste
- Más parámetros que datos: error cero adentro, disparate afuera.
Buen ajuste
Forma correcta, ECM chico
Exponencial sobre datos exponenciales con ruido: residuos chicos y sin forma. Extrapola con cuidado.
Mal ajuste
Forma equivocada, ECM grande
Recta sobre datos que se empinan: residuos con parábola. El número avisa, el gráfico explica.
04 · Ruta empírica típica
Del gráfico a la ecuación en cinco pasos
La receta que repetiremos en calibración:
- 1Graficar.
Puntos (t, dato) en lineal y en log: la forma canta.
- 2Proponer.
Exponencial si en log es recta; S si se frena.
- 3Estimar.
r por pendiente en log; P₀ por el primer dato.
- 4Medir.
ECM y residuos: ¿chicos y sin forma?
- 5Comparar.
Recta vs exponencial: gana el ECM menor con menos parámetros.
05 · Representación en Python
Datos, modelo y ECM en diez líneas
En Python, los datos son una lista de pares, el modelo una función y el ECM un promedio. Barrer r a mano ya es calibrar.
Python en tu navegador. Estos bloques se ejecutan localmente con Pyodide, sin instalar nada. Probá r = 0,2 y r = 0,4 y quedate con el menor ECM.
import math
datos = [(0, 10.2), (2, 18.5), (4, 33.1), (6, 60.8)]
def modelo(t, p0=10.0, r=0.3):
return p0 * math.exp(r * t)
def ecm(p0=10.0, r=0.3):
return sum((d - modelo(t, p0, r)) ** 2 for t, d in datos) / len(datos)
for r in [0.2, 0.3, 0.4]:
print(r, "→ ECM", round(ecm(10.0, r), 1))r = 0,3 gana por lejos: la pendiente en log de estos datos es ≈ 0,3.
Residuos que hablan
El ECM resume; los residuos explican dónde:
def residuos(p0=10.0, r=0.3):
return [(t, round(d - modelo(t, p0, r), 2)) for t, d in datos]
print(residuos())06 · Exploración
Laboratorio: cazar r con el ECM
Puntos grises: conteos con ruido (verdad r = 0,3, P₀ = 10). Curva dorada: tu exponencial con tu r y tu P₀. Barras: residuos. Achicá el ECM moviendo r: el mínimo está cerca de 0,3.
Ajuste a ojo con medida
P(t) = P₀ · e^(r·t) · verdad r = 0,3
Con r 0,3 y P₀ 10 el ECM es 3,42: cerca del ruido puro.
Subir el ruido ensancha las barras sin mover la curva verdadera: el ECM mínimo sube aunque la forma sea correcta.
Preguntas para explorar
- Con P₀ = 10, probá r = 0,2 y r = 0,4. ¿Cuál ECM es menor? ¿Los residuos tienen forma?
- Con r = 0,3 exacto, subí el ruido a 2. ¿El ECM mínimo sube o baja?
- Si los datos fueran logísticos (con techo), ¿qué forma tendrían los residuos del exponencial?
Ver respuestas sugeridas
- Ambos ECM grandes con residuos con forma (todos de un lado al final): r equivocada deja firma.
- Sube: más ruido, más ECM aunque la forma sea la verdadera. El piso lo pone el ruido.
- Residuos negativos al final (el modelo predice de más): firma de techo ignorado.
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«ECM chico significa modelo verdadero»
Significa que ajusta esos datos: con pocos puntos hasta un polinomio loco da ECM cero y predice disparates.
«Más parámetros siempre mejor»
Mejor adentro, peor afuera: cada parámetro extra es una oportunidad de sobreajustar el ruido.
«Los residuos son basura»
Son el diagnóstico: sin forma es ruido; con forma es modelo equivocado. Hay que graficarlos siempre.
«Ajustar es lo mismo que validar»
No: ajustar usa los datos para elegir; validar usa otros datos para probar. Lo veremos en calibración.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: ECM a mano
Con los 4 datos del bloque Python, calculá el ECM con r = 0,3 y P₀ = 10. ¿Da menos que 10?
import math
datos = [(0, 10.2), (2, 18.5), (4, 33.1), (6, 60.8)]
r, p0 = 0.3, 10.0
e = sum((d - p0 * math.exp(r * t)) ** 2 for t, d in datos) / len(datos)
print(round(e, 2))Ver solución
Da ≈ 3,42: los residuos son de ±2, puro ruido. La forma exponencial es la correcta.
Ejercicio 2: recta vs exponencial
Ajustá una recta entre el primero y el último dato y compará su ECM con el exponencial. ¿Cuál gana?
import math
datos = [(0, 10.2), (2, 18.5), (4, 33.1), (6, 60.8)]
pend = (60.8 - 10.2) / 6
e_recta = sum((d - (10.2 + pend * t)) ** 2 for t, d in datos) / len(datos)
e_exp = sum((d - 10 * math.exp(0.3 * t)) ** 2 for t, d in datos) / len(datos)
print(round(e_recta, 1), round(e_exp, 1))Ver solución
Recta ≈ 45,9 frente a exponencial ≈ 3,4: gana la forma que se empina. El número confirma al ojo.
Ejercicio 3: barrido de r
Barre r de 0,2 a 0,4 y quedate con el mínimo ECM. ¿Cae cerca de 0,3?
Ver una posible respuesta
import math
datos = [(0, 10.2), (2, 18.5), (4, 33.1), (6, 60.8)]
def ecm(r, p0=10.0):
return sum((d - p0 * math.exp(r * t)) ** 2 for t, d in datos) / len(datos)
mejor = min(((round(r, 2), round(ecm(r), 2)) for r in [i / 100 for i in range(20, 41)]), key=lambda p: p[1])
print(mejor)El mínimo cae en r ≈ 0,30: barrer a mano ya es calibrar. En el Tema 39 lo haremos sistemático.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- Sin ley: forma propuesta + parámetros estimados + error medido (ECM).
- El gráfico en lineal y log propone; el ECM dispone; los residuos diagnostican.
- Menos parámetros con igual ECM gana: simple y honesto extrapola mejor.
- En Python: datos como pares, modelo como función, ECM como promedio, barrido como ajuste.
- El ajuste promete donde midió: extrapolar es apostar, no deducir.
En el próximo tema veremos los modelos de crecimiento: la primera familia empírica con nombre propio.