Modelos de crecimiento

01 · Punto de partida

No todo lo que sube sube igual

Un tanque con canilla fija suma 2 litros por minuto, siempre igual. Una colonia suma el 30 % de lo que hay: cuanto más hay, más suma. Ambos crecen, pero el segundo acelera: su tasa crece con el nivel.

Este tema ordena la familia del crecimiento antes de estudiar a sus dos miembros famosos: exponencial (Tema 15) y logístico (Tema 16).

• ¿La tasa es fija o depende del nivel?
• ¿Cada unidad aporta lo mismo o aporta hijos?
• ¿Hay techo o el modelo crece sin límite?
• ¿En qué plazo vale la forma propuesta?

02 · Definición

¿Qué es un modelo de crecimiento?

Un modelo de crecimiento acumula con dP/dt > 0. Tres niveles de ambición:

La tasa per cápita (1/P)·dP/dt distingue: constante q/P que cae, r fijo, r·(1 − P/K) que muere en K.

03 · Anatomía

Tasa total y tasa per cápita

Dos lecturas de la misma f:

Tasa total dP/dt

Lo que suma por minuto el sistema entero: 2, 6, 60. Manda la pendiente.

Tasa per cápita (1/P)dP/dt

Lo que aporta cada unidad: q/P, r, r(1 − P/K). Revela el mecanismo.

Tiempo de duplicación

En exponencial: ln2/r ≈ 2,3 min con r = 0,3. Cada 2,3 se duplica.

Horizonte de validez

El exponencial vale al inicio; el techo manda después. Ninguno vale siempre.

04 · Crecimiento en el curso

De la recta a la S en tres temas

La ruta de la familia:

1. 1
   Lineal (aquí).

   Referencia sin aceleración: el piso contra el que se mide todo.

2. 2
   Exponencial (Tema 15).

   El despegue puro: r fijo, duplicación constante.

3. 3
   Logístico (Tema 16).

   Despegue + freno: S que arranca exponencial y muere en K.

4. 4
   Poblaciones (Tema 18).

   Nacimientos menos muertes con capacidad: logística con nombres.

5. 5
   Epidemias (Tema 20).

   SIR temprano ≈ exponencial; después el techo de susceptibles frena.

05 · Representación en Python

Lineal y exponencial lado a lado

En Python, las dos familias son dos funciones de una línea. Compararlas desde el mismo P₀ muestra la aceleración.

import math


def lineal(p0, q, t):
    return p0 + q * t


def exponencial(p0, r, t):
    return p0 * math.exp(r * t)


for t in [0, 5, 10]:
    print(t, round(lineal(10, 2, t), 1), round(exponencial(10, 0.3, t), 1))

En t = 10: 30 frente a 200,9. Misma salida, historias opuestas.

Per cápita que delata

La tasa por unidad distingue mecanismos con los mismos números:

def per_capita_lineal(p, q=2):
    return q / p


def per_capita_exp(r=0.3):
    return r


for p in [10, 100]:
    print(p, round(per_capita_lineal(p), 3), per_capita_exp())

06 · Exploración

Laboratorio: la recta frente al despegue

Mismo P₀ = 10, mismo arranque: la recta teal suma q = 2 por minuto; la dorada multiplica con tu r. Al inicio casi se tocan; después la dorada se escapa. Esa apertura es la aceleración.

La recta ignora el nivel; la exponencial vive de él. Por eso se tocan al inicio (tasas parecidas) y se separan después.

Preguntas para explorar

1. Con r = 0,05, ¿el exponencial sigue ganando en T = 10? ¿Por cuánto?
2. Duplicá q con r fijo. ¿La recta alcanza al exponencial en T = 10?
3. ¿En qué t la exponencial duplica a la recta con q = 2 y r = 0,3?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: recta contra curva

Desde P₀ = 10 con q = 2 y r = 0,3, calculá ambas en t = 5. ¿Ya se separaron?

import math


print("lineal:", 10 + 2 * 5)
print("exp   :", round(10 * math.exp(0.3 * 5), 1))

Ejercicio 2: duplicación

¿Cada cuánto se duplica con r = 0,3? ¿Y con r = 0,1? Verificá que P se duplica en ese plazo.

import math


def duplicacion(r):
    return round(math.log(2) / r, 2)


for r in [0.3, 0.1]:
    t = duplicacion(r)
    print(r, t, round(math.exp(r * t), 3))

Ejercicio 3: ¿cuándo cruza?

Hallá el primer t entero donde la exponencial (r = 0,3) supera el doble de la recta (q = 2) desde P₀ = 10.

import math


def cruce(p0=10, q=2, r=0.3):
    t = 0
    while p0 * math.exp(r * t) < 2 * (p0 + q * t):
        t += 1
    return t


print(cruce())

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aislaremos el crecimiento exponencial: el despegue puro y sus peligros.