Crecimiento exponencial

01 · Punto de partida

Cada unidad engendra más

Diez bacterias que se dividen al 30 % por minuto no suman 3 fijas: al minuto hay 13, al siguiente el 30 % de 13. La tasa vive del nivel: dP/dt = r·P. El resultado es el despegue exponencial P(t) = P₀·e^(r·t).

Vale al inicio de colonias, contagios y capitales: mientras nada frene, cada unidad aporta hijos a ritmo r.

• ¿La per cápita es constante?
• ¿Cada cuánto se duplica?
• ¿Hasta cuándo vale el despegue?
• ¿Qué techo lo va a frenar?

02 · Definición

¿Qué es el crecimiento exponencial?

Tres firmas lo delatan:

Si en log no es recta, no es exponencial: es la prueba de un vistazo que separa despegue de S temprana o de parábola.

03 · Anatomía

Duplicar, cuadruplicar, explotar

La exponencial se lee en potencias de 2:

Duplicación T₂ = ln2/r

El reloj del despegue: cada T₂ se multiplica ×2. Con r = 0,3 son 2,31 min.

Escala P₀

P₀ multiplica toda la curva: dos arranques guardan su cociente para siempre.

r manda todo

Forma, velocidad y final: un 10 % más de r seNota mucho en T largo (e se potencia).

Validez corta

Sin techo, predice 4000 en t = 20 desde 10: útil al inicio, absurdo después.

04 · Exponencial en el curso

El inicio de casi todo

Cada despegue del curso es una exponencial temprana:

1. 1
   Colonias.

   Fase temprana: divisiones sin límite. r se mide en log.

2. 2
   Contagios iniciales.

   SIR con S ≈ N: dI/dt ≈ (β − γ)I. Despegue antes del pico.

3. 3
   Capital.

   Interés continuo: r nominal que capitaliza a cada instante.

4. 4
   Decaimiento.

   r negativa: la misma fórmula con espejo. Tema 17.

5. 5
   Logístico temprano.

   Con P ≪ K, (1 − P/K) ≈ 1: nace exponencial y muere en K.

05 · Representación en Python

Exacta, log y duplicación

En Python, la exponencial es math.exp; su log es una recta. Verificar la recta en log valida la forma.

import math


def p(t, p0=10.0, r=0.3):
    return p0 * math.exp(r * t)


for t in [0, 2.31, 4.62, 10]:
    print(t, round(p(t), 1))

10 → 20 → 40 → 201: duplicar, cuadruplicar, explotar.

Recta en logaritmo

Si es exponencial, ln P crece lineal con pendiente r:

import math


def pendiente_log(p0=10.0, r=0.3, t1=2, t2=8):
    return (math.log(p(t2, p0, r)) - math.log(p(t1, p0, r))) / (t2 - t1)


print(round(pendiente_log(), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: el reloj de duplicar

Exponencial desde P₀ con tu r. Los puntos blancos marcan cada duplicación (×2, ×4, ×8…): equidistantes en t, explosivos en P. Subí r y observá cómo se juntan los relojes.

Cada marca blanca es un ×2: la distancia horizontal es siempre T₂, la vertical se duplica cada vez.

Preguntas para explorar

1. Con r = 0,6, ¿cuánto vale T₂? ¿Cuántas duplicaciones caben en T = 10?
2. Duplicá P₀ con el mismo r. ¿Cambian T₂ y la cantidad de duplicaciones?
3. Si en log la curva se dobla hacia abajo, ¿sigue siendo exponencial?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: duplicar dos veces

Desde P₀ = 5 con r = 0,2, ¿cuánto hay en una y en dos duplicaciones? Comprobalo con la fórmula.

import math


r, p0 = 0.2, 5.0
t2 = math.log(2) / r
print(round(t2, 2))
print(round(p0 * math.exp(r * t2), 1), round(p0 * math.exp(r * 2 * t2), 1))

Ejercicio 2: r desde dos datos

Si P(0) = 10 y P(4) = 33,2, estimá r con el log y pronosticá P(10).

import math


r = (math.log(33.2) - math.log(10)) / 4
print(round(r, 3), round(10 * math.exp(r * 10), 1))

Ejercicio 3: ¿cuándo llega a 1000?

Desde P₀ = 10 con r = 0,3, ¿en qué t se cruza P = 1000? Resolvelo con log y verificalo.

import math


def tiempo_en(p0, r, objetivo):
    return math.log(objetivo / p0) / r


t = tiempo_en(10, 0.3, 1000)
print(round(t, 2), round(10 * math.exp(0.3 * t), 1))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aparecerá el freno: el crecimiento logístico con techo K.