Crecimiento logístico

01 · Punto de partida

Crecer hasta chocar con el techo

La colonia despega exponencial… hasta que la comida escasea, el espacio se llena o los residuos molestan. El crecimiento se frena solo al acercarse a la capacidad K: nace la curva S del logístico dP/dt = r·P·(1 − P/K).

Es el primer modelo con dos equilibrios (0 y K) y con historia en dos actos: despegue y saturación, separados por la inflexión en K/2.

• ¿Cuál es el techo K del ambiente?
• ¿Dónde está la inflexión (máxima velocidad)?
• ¿Cuánto tarda en llenar la mitad y el 90 %?
• ¿Qué pasa si arranca arriba de K?

02 · Definición

¿Qué es el crecimiento logístico?

Exponencial con freno proporcional al llenado:

Con A = (K − P₀)/P₀. Si P₀ > K, la curva baja hacia K: el techo atrae desde arriba también.

03 · Anatomía

Dos equilibrios y una bisagra

El logístico tiene personalidad doble:

P = 0 (repulsor)

Vacío inestable: cualquier semilla despega. Equilibrio que repele.

P = K (atractor)

Techo estable: desde abajo sube, desde arriba baja. Equilibrio que atrae.

Inflexión K/2

Tiempo t* = ln((K − P₀)/P₀)/r: la tasa toca su máximo r·K/4.

Per cápita r(1 − P/K)

Recta que cae de r a 0: cada individuo aporta menos al llenarse.

04 · Logístico en el curso

El techo reaparece en todas partes

Cada saturación del curso es un logístico disfrazado:

1. 1
   Cultivo.

   Comida finita: K es el plato. Clásico de laboratorio.

2. 2
   Población (Tema 18).

   Nacimientos menos muertes con capacidad: logística con demografía.

3. 3
   Adopción.

   Innovación que contagia hasta saturar el mercado K.

4. 4
   Tumor con límite.

   Crece y se frena por nutrientes: S con K terapéutico.

5. 5
   SIR acumulado.

   Infectados totales en S: el techo es la población N.

05 · Representación en Python

Exacta, tasa e inflexión

En Python, el logístico es una exacta cerrada más una tasa con freno. La inflexión se calcula, no se adivina.

import math


def logistica(t, p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    a = (k - p0) / p0
    return k / (1 + a * math.exp(-r * t))


def tasa(p, r=0.5, k=100.0):
    return r * p * (1 - p / k)


for t in [0, 4.4, 10, 20]:
    print(t, round(logistica(t), 1))

10 → 50 → 94 → 100: despegue, bisagra, techo.

Inflexión exacta

El tiempo de la bisagra sale de igualar P(t) = K/2:

import math


def inflexion(p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    return math.log((k - p0) / p0) / r


print(round(inflexion(), 2), "tasa máx:", round(0.5 * 100 / 4, 1))

06 · Exploración

Laboratorio: la S con su bisagra

Logístico con tu r, tu K y tu P₀. La dorada es P(t); la punteada gris es K y la blanca es K/2 con su tiempo de inflexión. La teal es la tasa (escala propia): nace chica, toca el máximo en la bisagra y muere en el techo.

La tasa teal es campana: sube con el despegue, culmina en K/2 y cae con la saturación. Su cero final es el techo.

Preguntas para explorar

1. Con P₀ = 2, ¿la inflexión llega antes o después que con P₀ = 10? ¿Por qué?
2. Duplicá K con el mismo r. ¿La tasa máxima se duplica o se cuadruplica?
3. Si P₀ = 150 con K = 100, ¿la curva sube o baja? ¿Pasa por K/2?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: bisagra a mano

Con P₀ = 10, r = 0,5 y K = 100, calculá t* y la tasa máxima. Verificá que P(t*) = 50.

import math


def t_estrella(p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    return math.log((k - p0) / p0) / r


print(round(t_estrella(), 2))

Ejercicio 2: tasa que nace y muere

Evaluá dP/dt en P = 5, 50 y 95 con r = 0,5 y K = 100. ¿Dónde es máxima?

def tasa(p, r=0.5, k=100.0):
    return r * p * (1 - p / k)


for p in [5, 50, 95]:
    print(p, round(tasa(p), 2))

Ejercicio 3: ¿cuándo llega al 90 %?

Hallá el t donde P = 0,9·K con P₀ = 10, r = 0,5, K = 100. Resolvelo despejando la exacta.

import math


def tiempo_nivel(fraccion, p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    a = (k - p0) / p0
    objetivo = fraccion * k
    return math.log(a / (k / objetivo - 1)) / r


print(round(tiempo_nivel(0.9), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos el espejo: los modelos de decaimiento que se agotan.