Modelos de decaimiento

01 · Punto de partida

Perder según lo que queda

Un fármaco se elimina en proporción a lo que hay en sangre: con mucho, pierde rápido; con poco, pierde lento. Un isótopo decae igual. La regla es dM/dt = −λ·M: la pérdida es proporcional al nivel, el espejo del crecimiento exponencial.

El resultado es la curva que más aparece en farmacia, física y ambiente: cae rápido al inicio y se arrastra al final sin tocar nunca el cero.

• ¿Qué fracción se pierde por unidad de tiempo (λ)?
• ¿Cada cuánto queda la mitad (vida media)?
• ¿Cuánto queda en el horizonte: sirve o es residuo?
• ¿Hay ingresos que compensen la pérdida?

02 · Definición

¿Qué es un modelo de decaimiento?

Pérdida con memoria del nivel:

Es la exponencial con r = −λ: misma matemática del Tema 15, signo cambiado, historia opuesta.

03 · Anatomía

Vida media, residuo y dosis repetida

Tres lecturas del mismo λ:

Vida media T½ = ln2/λ

Cada T½ queda la mitad: 5 vidas medias dejan ≈ 3 %. El reloj del fármaco.

Residuo en T

M₀·e^(−λT): lo que queda al final. ¿Hay que esperar o se puede actuar?

Con ingresos

dM/dt = dosis − λ·M: converge a dosis/λ. La dosis sostiene el nivel (Tema 10).

Lineal en log

ln M(t) = ln M₀ − λ·t: recta de pendiente −λ. El test de forma.

04 · Decaimiento en el curso

La misma curva con cinco nombres

Cada pérdida proporcional es este modelo:

1. 1
   Fármaco.

   Eliminación con λ renal/hepático: dosis cada tantas vidas medias.

2. 2
   Isótopo.

   Decaimiento nuclear: semivida física que data muestras.

3. 3
   Contaminante.

   Degradación con λ ambiental: ¿cuánto queda en T?

4. 4
   Enfriamiento.

   La diferencia T − T_amb decae con λ = k (Tema 12).

5. 5
   Capital con gasto.

   Fondo que pierde proporción: espejo del interés.

05 · Representación en Python

Exacta, vida media y residuo

En Python, el decaimiento es math.exp con signo menos; la vida media sale del log.

import math


def m(t, m0=100.0, lam=0.2):
    return m0 * math.exp(-lam * t)


for t in [0, 3.47, 6.93, 17.3]:
    print(t, round(m(t), 1))

100 → 50 → 25 → 3: mitades encadenadas, cola que se arrastra.

Vida media y umbral

Dos cuentas que deciden dosis y esperas:

import math


def vida_media(lam):
    return math.log(2) / lam


def tiempo_umbral(m0, lam, umbral):
    return math.log(m0 / umbral) / lam


print(round(vida_media(0.2), 2))
print(round(tiempo_umbral(100, 0.2, 3), 2))

06 · Exploración

Laboratorio: mitades encadenadas

Decaimiento desde M₀ con tu λ. Las líneas blancas marcan cada vida media (½, ¼, ⅛…): equidistantes en t, geométricas en M. Subí λ y observá cómo se juntan los relojes y la cola se acorta.

Cada marca es la mitad de la anterior: la distancia horizontal es siempre T½, la vertical se parte cada vez.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 0,4, ¿cuánto vale T½? ¿Cuánto queda en T = 20 desde 100?
2. Duplicá M₀ con el mismo λ. ¿Cambian T½ y el % restante?
3. Si el umbral seguro es 3, ¿en qué t se cruza con λ = 0,2 y M₀ = 100?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: mitades a mano

Desde M₀ = 200 con λ = 0,1, ¿cuánto hay en una y en dos vidas medias?

import math


lam, m0 = 0.1, 200.0
t12 = math.log(2) / lam
print(round(t12, 2))
print(round(m0 / 2, 1), round(m0 / 4, 1))

Ejercicio 2: λ desde dos datos

Si M(0) = 100 y M(5) = 36,8, estimá λ con el log y pronosticá M(10).

import math


lam = (math.log(100) - math.log(36.8)) / 5
print(round(lam, 3), round(100 * math.exp(-lam * 10), 1))

Ejercicio 3: tiempo al umbral

Desde M₀ = 100 con λ = 0,2, ¿en qué t queda menos de 1? Resolvelo con log y verificalo.

import math


def tiempo_umbral(m0, lam, umbral):
    return math.log(m0 / umbral) / lam


t = tiempo_umbral(100, 0.2, 1)
print(round(t, 2), round(100 * math.exp(-0.2 * t), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema poblaremos el mundo: modelos poblacionales con nacimientos y muertes.