Modelos poblacionales

01 · Punto de partida

Contar individuos en flujo continuo

Nacen b·P por minuto y mueren d·P: el neto r = b − d decide si crece o se apaga. Y el ambiente pone techo K: sin comida ni espacio, la per cápita se achica hasta anularse. La ecuación es dP/dt = (b − d)·P·(1 − P/K): logística con pasaporte demográfico.

Modelar poblaciones así sirve para bacterias, peces, bosques y también para usuarios, clientes o contagios con capacidad.

• ¿Cuánto nacen (b) y cuánto mueren (d) por individuo?
• ¿El neto r = b − d es positivo o negativo?
• ¿Cuál es la capacidad K del ambiente?
• ¿Cuántos hay hoy (P₀) y hacia dónde van?

02 · Definición

¿Qué es un modelo poblacional continuo?

Balance demográfico con tres actores:

Si b > d hay S hacia K; si b < d hay decaimiento hacia 0; si b = d la población reposa donde esté.

03 · Anatomía

Neto, techo y cosecha

La demografía continua se lee en tres números:

Neto r = b − d

Crecimiento intrínseco: manda despegue y velocidad. Sin techo es exponencial pura.

Techo K

Dónde muere la per cápita: equilibrios en 0 (repele si r > 0) y K (atrae).

Cosecha h·P

Extracción (pesca, tala): dP/dt = r·P·(1 − P/K) − h·P. Si h > r, colapsa a 0.

Umbral de extinción

Con r < 0, cualquier P₀ decae: la población no se sostiene sola.

04 · Poblaciones en el curso

La misma S con cinco censos

Cada conteo con nacimientos y techo es este modelo:

1. 1
   Cultivo.

   b − d = r con K del plato: S de laboratorio.

2. 2
   Pesquería.

   r natural menos cosecha h: equilibrio en K·(1 − h/r).

3. 3
   Bosque.

   Reforestación con capacidad del suelo: S lenta.

4. 4
   Usuarios.

   Altas menos bajas con mercado K: adopción que satura.

5. 5
   Epidemia (Tema 20).

   SIR: la «capacidad» de susceptibles se agota contagiando.

05 · Representación en Python

b y d separados, r explícito

En Python conviene recibir b y d por separado y calcular r adentro: el código documenta la demografía en vez de esconderla en un r mágico.

def tasa_poblacional(p, b=0.4, d=0.1, k=100.0):
    r = b - d
    return r * p * (1 - p / k)


for p in [10, 50, 95]:
    print(p, round(tasa_poblacional(p), 2))

10,5 · 7,5 · 2,38: nace fuerte, culmina en K/2 y muere en el techo.

Exacta demográfica

Con r = b − d, la S cerrada usa el neto:

import math


def poblacion(t, p0=10.0, b=0.4, d=0.1, k=100.0):
    r = b - d
    a = (k - p0) / p0
    return k / (1 + a * math.exp(-r * t))


print(round(poblacion(10), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: con techo y sin techo

Mismo r = b − d y mismo P₀ = 10: la teal es exponencial sin techo; la dorada es logística con tu K. Al inicio se tocan; después la dorada se dobla y la teal se escapa. Esa brecha es el precio de ignorar la capacidad.

La brecha entre curvas mide el error de suponer ambiente infinito. Con r negativo, ambas caen y la brecha se cierra por abajo.

Preguntas para explorar

1. Con b = 0,1 y d = 0,4, ¿qué hacen ambas curvas? ¿Hay brecha?
2. Duplicá K con el mismo r. ¿La logística se acerca a la exponencial?
3. Si K = 40 con P₀ = 10, ¿la S se nota en T = 20 o ya aterrizó?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: neto que decide

Con b = 0,35 y d = 0,15, ¿cuánto vale r? ¿La población crece o mengua?

b, d = 0.35, 0.15
print("r =", round(b - d, 2), "→", "crece" if b > d else "mengua")

Ejercicio 2: equilibrio con cosecha

Con r = 0,3, K = 100 y cosecha h = 0,1, ¿dónde queda el equilibrio? ¿Y si h = 0,4?

def equilibrio_cosecha(r=0.3, k=100.0, h=0.1):
    return max(0.0, k * (1 - h / r))


print(equilibrio_cosecha(h=0.1))
print(equilibrio_cosecha(h=0.4))

Ejercicio 3: brecha con y sin techo

Desde P₀ = 10 con r = 0,3 y K = 100 en T = 15, calculá exponencial y logística. ¿Cuánto cuesta ignorar K?

import math


def exp(p0, r, t):
    return p0 * math.exp(r * t)


def log(p0, r, k, t):
    return k / (1 + (k - p0) / p0 * math.exp(-r * t))


e, l = exp(10, 0.3, 15), log(10, 0.3, 100, 15)
print(round(e, 1), round(l, 1), round(e - l, 1))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema la población se moverá: modelos de propagación en espacio y tiempo.