Modelos de propagación

01 · Punto de partida

Lo junto se separa, lo caliente se reparte

Una gota de tinta en agua quieta no se queda: se expande en una mancha cada vez más pálida. El calor de una soldadura viaja por la barra. Un perfume cruza la habitación sin viento. En todos hay propagación: una magnitud C(x, t) que depende del lugar y del tiempo y fluye de donde hay más hacia donde hay menos.

La ley es la difusión: flujo proporcional al gradiente, del pico hacia los costados.

• ¿Qué se reparte: calor, tinta, contaminante, rumor?
• ¿Qué tan rápido viaja (difusividad D)?
• ¿El pico baja y la mancha se ensancha?
• ¿La masa total se conserva?

02 · Definición

¿Qué es un modelo de propagación?

El estado vive en cada punto x y el flujo cruza entre vecinos:

La mancha gaussiana de una gota puntual lo resume: alta y angosta al inicio, baja y ancha después, siempre con la misma masa.

03 · Anatomía

Pico, ancho y masa

Tres números cuentan la mancha:

Pico C(0, t) = M/√(4πDt)

Altura en el centro: cae como 1/√t. Duplicar t no parte a la mitad: la divide por √2.

Ancho ∼ √(Dt)

La mancha se ensancha con la raíz: para duplicar el ancho hay que cuadruplicar t.

Masa total M

Integral sobre x constante: lo que baja el pico lo gana el ancho. Nada se pierde.

D manda el reloj

Más D, todo más rápido: el tiempo efectivo es D·t. Doble D, mitad de espera.

04 · Propagación en el curso

La misma mancha, cinco medios

Cada reparto con gradiente es difusión:

1. 1
   Tinta en agua.

   Gota puntual que palidece y se expande con masa constante.

2. 2
   Calor en barra.

   Soldadura que entibia los extremos: el pico viaja en forma de manta.

3. 3
   Contaminante.

   Derrame que se diluye: el pico baja pero el área afectada crece.

4. 4
   Epidemia con movilidad.

   Infectados que difunden entre barrios: SIR + espacio (Tema 20).

5. 5
   Rumor.

   Idea que se reparte por contacto: denso al centro, ralo en bordes.

05 · Representación en Python

Gaussiana que se aplana

En Python, la mancha es una función de x y t con la fórmula cerrada de la gota puntual. El pico y el ancho salen de la misma línea.

import math


def mancha(x, t, m=100.0, d=1.0):
    return m / math.sqrt(4 * math.pi * d * t) * math.exp(-x ** 2 / (4 * d * t))


for t in [1, 4, 9]:
    print(t, round(mancha(0, t), 1), round(mancha(4, t), 2))

Pico 28 → 14 → 9,4: cae como 1/√t mientras los bordes suben y luego bajan.

Pico y ancho desde la fórmula

Sin simular se extraen los dos números de la mancha:

import math


def pico(t, m=100.0, d=1.0):
    return m / math.sqrt(4 * math.pi * d * t)


def ancho(t, d=1.0):
    return math.sqrt(d * t)


print(round(pico(4), 1), round(ancho(4), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: la gota que se hace niebla

Gota M = 100 con tu difusividad D. Tres perfiles: t = 1 (dorada, alta), t = 4 (teal) y t = 9 (naranja, baja y ancha). Subí D y observá que las tres se aplastan: el tiempo efectivo es D·t.

El área bajo cada perfil es siempre M: lo que pierde el centro lo ganan los costados. Por eso el cociente de picos es √(t₃/t₁).

Preguntas para explorar

1. Con D = 2, ¿los picos suben o bajan respecto a D = 1? ¿En qué factor?
2. Duplicá M con el mismo D. ¿Cambian las formas o solo las alturas?
3. Si el tiempo base es ×2, ¿los tres perfiles se juntan o se separan?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: pico que cae como 1/√t

Con M = 100 y D = 1, calculá el pico en t = 1 y t = 4. ¿El cociente es 2?

import math


def pico(t, m=100.0, d=1.0):
    return m / math.sqrt(4 * math.pi * d * t)


a, b = pico(1), pico(4)
print(round(a, 1), round(b, 1), round(a / b, 2))

Ejercicio 2: D que corre el reloj

Con M = 100 y t = 1, compará el pico con D = 1 y D = 4. ¿Qué factor aparece?

import math


def pico(t, m, d):
    return m / math.sqrt(4 * math.pi * d * t)


print(round(pico(1, 100, 1), 1), round(pico(1, 100, 4), 1))

Ejercicio 3: masa que se conserva

Integrá numéricamente la gaussiana en x ∈ [−20, 20] para t = 2 y t = 8. ¿Da M = 100 en ambas?

import math


def masa(t, m=100.0, d=1.0, n=2000):
    dx = 40 / n
    return sum(m / math.sqrt(4 * math.pi * d * t) * math.exp(-(-20 + i * dx) ** 2 / (4 * d * t)) * dx for i in range(n + 1))


print(round(masa(2), 1), round(masa(8), 1))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema la propagación será entre personas: modelos epidemiológicos SIR.