Modelos epidemiológicos

01 · Punto de partida

Una población que se pasa la antorcha

Diez infectados entre 990 susceptibles: cada encuentro contagia con tasa β y cada infectado se recupera con tasa γ. Los susceptibles bajan, los infectados suben y bajan (joroba), los recuperados suben. La suma no se mueve: es una cadena cerrada S → I → R.

El SIR es el sistema acoplado por excelencia: tres estados, dos flujos y un número que decide todo, R₀ = β/γ.

• ¿Cuánto contagia cada infectado (β)?
• ¿Cuánto tarda en recuperarse (1/γ)?
• ¿R₀ supera 1 y despega, o no?
• ¿Cuándo es el pico y cuántos se infectan en total?

02 · Definición

¿Qué es el modelo SIR?

Tres estados, dos flujos, una conservación:

R₀ es cuántos contagia cada infectado en población virgen: con β = 0,3 y γ = 0,1, R₀ = 3 y el brote despega.

03 · Anatomía

R₀, pico y ataque final

Tres números cuentan el brote:

R₀ = β/γ

Umbral en 1: arriba hay joroba, abajo decaimiento. Bajar β (distancia) o subir γ (aislar) lo voltean.

Pico de I

Máximo simultáneo: demanda pico del sistema. Más R₀, pico más alto y temprano.

Ataque final R(∞)/N

Fracción que pasó por I: con R₀ = 3 supera el 90 %. La S final es lo que se salvó.

Conservación S + I + R = N

La suma de tasas es cero: nadie entra ni sale. El modelo es cadena cerrada.

04 · SIR en el curso

La cadena que reaparece

El mismo esqueleto S → I → R viste varios trajes:

1. 1
   Gripe.

   Brote estacional con R₀ ≈ 1,5: joroba moderada y ataque parcial.

2. 2
   Sarampión.

   R₀ alto (≈ 12): rapidísimo y casi todos pasan por I sin vacuna.

3. 3
   SEIR.

   Latentes E entre S e I: el pico se retrasa y se suaviza.

4. 4
   SIS.

   Sin inmunidad: I vuelve a S. Equilibrio endémico en vez de ataque final.

5. 5
   Vacunación.

   Mueve S a R sin pasar por I: baja el susceptible inicial y voltea R₀ efectivo.

05 · Representación en Python

Tres estados que se pasan masa

En Python, el SIR es f(estado) con contagio y recuperación, más Euler que avanza los tres juntos.

def tasas_sir(estado, beta=0.3, gamma=0.1, n=1000):
    s, i = estado["S"], estado["I"]
    contagio = beta * s * i / n
    return {"dS": -contagio, "dI": contagio - gamma * i, "dR": gamma * i}


print(tasas_sir({"S": 990.0, "I": 10.0, "R": 0.0}))

dS = −2,97 · dI = +1,97 · dR = +1,0: la suma es cero, la cadena cierra.

Un brote en diez líneas

Euler con los tres juntos hasta el pico y más allá:

def brote(beta=0.3, gamma=0.1, n=1000, i0=10, dias=160, dt=0.5):
    s, i, r, t = n - i0, float(i0), 0.0, 0.0
    pico = i
    while t < dias - 1e-9:
        c = beta * s * i / n
        s, i, r = s - c * dt, i + (c - gamma * i) * dt, r + gamma * i * dt
        pico = max(pico, i)
        t += dt
    return round(pico, 1), round(r, 1)


print(brote())

06 · Exploración

Laboratorio: voltear R₀

SIR con N = 1000 e I₀ = 10 hasta 160 días. S dorada que cae, I teal con joroba, R naranja que sube. Movete β y γ y observá el umbral R₀ = 1: arriba hay pico, abajo I muere sin nacer.

El pico de I ocurre cuando S cruza N/R₀: ahí el contagio iguala a la recuperación y la joroba dobla.

Preguntas para explorar

1. Con β = 0,08 y γ = 0,1, ¿hay joroba? ¿Cuánto da el ataque?
2. Duplicá γ con el mismo β = 0,3. ¿El pico sube o baja? ¿Y el día?
3. Con I(0) = 1 en vez de 10, ¿el pico cambia o solo se retrasa?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: R₀ a mano

Con β = 0,25 y γ = 0,1, ¿hay brote? ¿Y con β = 0,09?

for beta in [0.25, 0.09]:
    r0 = beta / 0.1
    print(beta, "R0 =", r0, "→", "brote" if r0 > 1 else "se apaga")

Ejercicio 2: pico cuando S = N/R₀

Con N = 1000, β = 0,3 y γ = 0,1, ¿en qué S dobla la joroba?

print(1000 / (0.3 / 0.1))

Ejercicio 3: ataque final

Simulá con Euler hasta 160 días y reportá pico y R final con β = 0,3, γ = 0,1, I₀ = 10.

def brote(beta=0.3, gamma=0.1, n=1000, i0=10, dias=160, dt=0.5):
    s, i, r, t, pico, dia = n - i0, float(i0), 0.0, 0.0, i0, 0.0
    while t < dias - 1e-9:
        c = beta * s * i / n
        s, i, r = s - c * dt, i + (c - gamma * i) * dt, r + gamma * i * dt
        t += dt
        if i > pico:
            pico, dia = i, t
    return round(pico, 1), round(dia, 1), round(r / n * 100, 1)


print(brote())

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema el movimiento será físico: posición, velocidad y aceleración.