Modelos de movimiento

01 · Punto de partida

Del motor a la trayectoria

Un auto acelera a 2 m/s² contra un freno del aire proporcional a la velocidad. ¿Qué velocidad alcanza? ¿Qué distancia recorre en 20 s? La respuesta pide dos integraciones: la aceleración da la velocidad y la velocidad da la posición.

El movimiento es el sistema de orden 2 más cotidiano: dx/dt = v, dv/dt = a − c·v, con velocidad límite a/c.

• ¿Qué acelera (motor, gravedad) y qué frena (aire, roce)?
• ¿Cuál es la velocidad límite a/c?
• ¿Cuánto tarda en alcanzarla (3/c)?
• ¿Qué distancia recorre en el horizonte?

02 · Definición

¿Qué es un modelo de movimiento continuo?

Dos estados encadenados:

Sin fricción (c = 0) la velocidad crece sin techo y la posición es parábola; con fricción, la velocidad se estabiliza y la posición se vuelve recta.

03 · Anatomía

Límite, tiempo y distancia

Tres números del movimiento con freno lineal:

Velocidad límite v* = a/c

Donde motor y freno empatan: la aceleración muere y la velocidad reposa.

Tiempo 3/c

Para el 95 % de v*: con c = 0,2 son 15 s. Antes, curva; después, recta.

Distancia en T

v*·T menos el déficit del arranque: el transitorio «pierde» v*/c metros.

Sin freno c = 0

v = v₀ + a·t, x = x₀ + v₀·t + a·t²/2: parábola sin techo.

04 · Movimiento en el curso

El mismo (x, v) con cinco motores

Cada traslación es este sistema con otra a:

1. 1
   Auto.

   Motor a menos aire c·v: crucero a/c con distancia lineal.

2. 2
   Caída con aire.

   Gravedad g menos c·v: velocidad terminal mg/c.

3. 3
   Proyectil.

   Vertical con gravedad, horizontal casi libre: parábola + alcance.

4. 4
   Resorte (Tema 9).

   a = −k·x − c·v: el motor depende de x y oscila.

5. 5
   Barco.

   Empuje menos arrastre cuadrático: v* con raíz (no lineal).

05 · Representación en Python

Exacta de v y distancia acumulada

En Python, la velocidad tiene exacta cerrada y la posición se integra de la velocidad. El par (x, v) avanza junto.

import math


def velocidad(t, v0=0.0, a=2.0, c=0.2):
    v_star = a / c
    return v_star + (v0 - v_star) * math.exp(-c * t)


for t in [0, 5, 15, 20]:
    print(t, round(velocidad(t), 2))

0 → 6,32 → 9,5 → 9,82: el 95 % llega en 3/c = 15 s.

Distancia con Euler del sistema

La posición no tiene truco: suma v·dt con la v del mismo instante:

def distancia(a=2.0, c=0.2, v0=0.0, t_final=20.0, dt=0.1):
    x, v, t = 0.0, v0, 0.0
    while t < t_final - 1e-9:
        v = v + (a - c * v) * dt
        x = x + v * dt
        t += dt
    return round(x, 1)


print(distancia())

06 · Exploración

Laboratorio: del arranque al crucero

Movimiento con tu a, tu c y tu v₀ hasta T = 20. La teal es v(t) con su límite punteado a/c; la dorada es x(t) (escala propia) que se vuelve recta. Subí c y observá que el crucero baja pero llega antes.

La velocidad teal usa el eje izquierdo; la posición dorada, su propia escala: lo que importa es que una se clava y la otra se endereza.

Preguntas para explorar

1. Con v(0) = 15 y v* = 10, ¿la velocidad sube o baja? ¿Qué forma tiene x(t)?
2. Duplicá c con la misma a. ¿v* sube o baja? ¿El 95 % llega antes o después?
3. Si c = 0,05, ¿en T = 20 ya hay crucero? ¿Qué tramo manda?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: límite a mano

Con a = 3 y c = 0,3, ¿cuánto vale v*? ¿Y el tiempo al 95 %?

a, c = 3.0, 0.3
print("v* =", a / c, "t95 =", round(3 / c, 1))

Ejercicio 2: arrancar pasado

Con v* = 10 y v₀ = 15, ¿cuánto vale v(5) con c = 0,2? ¿Sube o baja?

import math


def v(t, v0=15.0, v_star=10.0, c=0.2):
    return v_star + (v0 - v_star) * math.exp(-c * t)


print(round(v(5), 2))

Ejercicio 3: distancia en crucero

Simulá x(20) con a = 2, c = 0,2, v₀ = 0 y dt = 0,1. ¿Cierra con ≈ 152?

def distancia(a=2.0, c=0.2, v0=0.0, t_final=20.0, dt=0.1):
    x, v, t = 0.0, v0, 0.0
    while t < t_final - 1e-9:
        v = v + (a - c * v) * dt
        x = x + v * dt
        t += dt
    return round(x, 1)


print(distancia())

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema el termómetro será el estado: modelos de temperatura.