Modelos de temperatura

01 · Punto de partida

Todo cuerpo negocia con su ambiente

La taza a 80 °C en ambiente de 20 °C se enfría; el motor encendido en el mismo ambiente se calienta hasta estabilizarse donde el calor que genera iguala al que pierde. La regla es dT/dt = −k·(T − T_amb) + P: Newton más fuente.

Sin fuente, el destino es el ambiente; con fuente, el destino sube en P/k. El termómetro cuenta la negociación.

• ¿Cuál es el ambiente T_amb que lo arrastra?
• ¿Cuánto calienta la fuente P por minuto?
• ¿Qué tan bien disipa (k)?
• ¿Dónde se estabiliza (T_amb + P/k)?

02 · Definición

¿Qué es un modelo térmico continuo?

Balance de energía con tres términos:

La fuente traslada el destino sin cambiar la velocidad: k manda el reloj, P/k manda el piso térmico.

03 · Anatomía

Ambiente, fuente y disipación

El térmico se lee en tres perillas:

Ambiente T_amb

El atractor base: sin fuente todo termina ahí. Puede variar en el tiempo (día/noche).

Fuente P

Potencia en °C/min: traslada T* en P/k. Apagarla devuelve al ambiente.

Disipación k

Qué tan bien pierde: más k, equilibrio más bajo y llegada más rápida.

Vida media ln2/k

Cada T½ se recorre la mitad del camino a T*: con k = 0,1 son 6,93 min.

04 · Térmicos en el curso

El mismo balance con cinco cuerpos

Cada temperatura con ambiente y fuente es este modelo:

1. 1
   Taza.

   Sin fuente: cae a T_amb con vida media ln2/k.

2. 2
   Motor.

   Con P fijo: sube a T_amb + P/k y se clava.

3. 3
   CPU.

   P según carga: el equilibrio sube con el trabajo.

4. 4
   Habitación.

   Estufa P contra pérdidas k: termostato en T*.

5. 5
   Dos cuerpos (Tema 10).

   Se intercambian k·(T₁ − T₂): convergen al medio.

05 · Representación en Python

Balance térmico en una línea

En Python, el térmico es pérdida más fuente con el equilibrio explícito al lado.

def f_termica(t, t_amb=20, k=0.1, p=2.0):
    return -k * (t - t_amb) + p


def equilibrio(t_amb=20, k=0.1, p=2.0):
    return t_amb + p / k


for t in [20, 40, 60]:
    print(t, round(f_termica(t), 2))
print("T* =", equilibrio())

+2, 0, −2 °C/min alrededor de T* = 40: la fuente sostiene 20 arriba del ambiente.

Exacta trasladada

La misma exponencial del enfriamiento, con destino T*:

import math


def temperatura(tiempo, t0=20.0, t_amb=20.0, k=0.1, p=2.0):
    t_star = t_amb + p / k
    return t_star + (t0 - t_star) * math.exp(-k * tiempo)


print(round(temperatura(30), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: la estufa contra el invierno

Cuerpo desde T(0) = 20 °C con tu ambiente, tu fuente P y tu k hasta t = 60. La punteada es T*: el trato entre estufa y pérdidas. Subí P y mirá cómo el destino sube en P/k sin cambiar el reloj.

La curva parte de 20 y trepa a T*: la distancia al destino se parte a la mitad cada vida media, venga de arriba o de abajo.

Preguntas para explorar

1. Con P = 0 y T_amb = 20 desde T(0) = 20, ¿qué dibuja? ¿Y desde una taza a 80?
2. Duplicá k con la misma P. ¿T* sube o baja? ¿La llegada es más rápida?
3. Si T_amb = 0 con P = 2 y k = 0,1, ¿a dónde va? ¿La fuente alcanza?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: destino a mano

Con T_amb = 10, k = 0,2 y P = 4, ¿cuánto vale T*? ¿Y la tasa en T = 10 y T = 40?

def equilibrio(t_amb=10, k=0.2, p=4.0):
    return t_amb + p / k


def f(t, t_amb=10, k=0.2, p=4.0):
    return -k * (t - t_amb) + p


print(equilibrio())
print(round(f(10), 2), round(f(40), 2))

Ejercicio 2: vida media térmica

¿Cada cuánto se recorre la mitad del camino a T* con k = 0,1? ¿Y con k = 0,25?

import math


def vida_media(k):
    return round(math.log(2) / k, 2)


print(vida_media(0.1), vida_media(0.25))

Ejercicio 3: aislar vs potenciar

Para T* = 50 con T_amb = 20 y P = 3, ¿qué k hace falta? ¿Y si se duplica P con el mismo k?

def k_para(t_star=50, t_amb=20, p=3.0):
    return p / (t_star - t_amb)


print(round(k_para(), 3))
print(20 + 6 / 0.1)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema el nivel será agua: tanques y flujos en forma general.