Variables de estado continuas

01 · Punto de partida

Lo que define la situación en cada instante

Si congelamos el tiempo en t = 4,37 min, ¿qué números bastan para describir por completo al sistema? El nivel del tanque, la temperatura de la taza, la cantidad de bacterias, los tres grupos S, I, R de una epidemia. Esos números son las variables de estado: la memoria del sistema.

Con el estado presente y las reglas de cambio podemos predecir el futuro sin mirar el pasado. Esa es la propiedad central: el estado resume la historia relevante.

• ¿Qué niveles necesito conocer para continuar la simulación?
• ¿Qué es memoria del sistema y qué es solo configuración?
• ¿Cuántos estados bastan y cuántos sobran?
• ¿Qué valores iniciales les doy?

02 · Definición

¿Qué es una variable de estado continua?

Toda variable continua del modelo cae en una de tres familias. Solo una de ellas es estado:

La prueba es simple: si congelo el tiempo, ¿este número sigue teniendo sentido como «situación»? Si sí, es estado. Si solo sirve para calcular, es parámetro o entrada.

03 · Anatomía

Elegir bien los estados

Un buen conjunto de estados es completo (basta para seguir), mínimo (sin redundancias) y medible (se puede inicializar y calibrar):

Vector de estado

El paquete completo: x(t) = [S(t), I(t), R(t)]. Se integra todo junto.

Espacio de estados

Todos los valores posibles: N ≥ 0, 0 ≤ T, S + I + R = N. Define lo permitido.

Condición inicial

El punto de partida x(0): sin ella la ecuación tiene infinitas curvas.

Trayectoria

La curva x(t) desde x(0) siguiendo dx/dt: el objeto que simulamos.

04 · Estados en modelos clásicos

El mismo patrón en cada dominio

Cada modelo continuo elige sus estados con el mismo criterio: ¿qué niveles necesito para calcular las tasas del próximo instante?

1. 1
   Tanque.

   Estado: N(t). Tasa: entrada − salida. Un solo nivel, una sola tasa.

2. 2
   Temperatura.

   Estado: T(t). Tasa: −k·(T − T_amb). El ambiente es entrada, no estado.

3. 3
   Población.

   Estado: P(t). Tasa: r·P (luego r·P·(1 − P/K)). r y K son parámetros.

4. 4
   Epidemia SIR.

   Estados: S(t), I(t), R(t). Tasas acopladas que se pasan población.

5. 5
   Movimiento.

   Estados: posición x(t) y velocidad v(t). Tasas: dx/dt = v, dv/dt = a.

05 · Representación en Python

El estado es un vector que se deriva

En Python, el estado continuo suele ser un diccionario o lista y la dinámica una función de tasas f(estado, t) que devuelve las derivadas. Integrar es aplicar esas tasas con un dt fino.

def tasa_crecimiento(estado, r):
    # estado: {"P": poblacion}. r: parámetro (1/min).
    return {"dP_dt": r * estado["P"]}


estado = {"P": 10.0}
print(tasa_crecimiento(estado, 0.3))
print(tasa_crecimiento({"P": 20.0}, 0.3))

Duplicar el estado duplica la tasa: la regla es la misma, el número cambia porque depende del nivel.

Integrar el vector paso a paso

Con la función de tasas, un paso de Euler es una línea: estado += tasa * dt. Así integraremos sistemas de cualquier tamaño en los Temas 30 y 36:

def paso_euler(estado, r, dt):
    tasa = r * estado["P"]
    return {"P": estado["P"] + tasa * dt}


x = {"P": 10.0}
for _ in range(3):
    x = paso_euler(x, 0.3, dt=1.0)
    print(round(x["P"], 2))

06 · Exploración

Laboratorio: el estado y su tasa crecen juntos

Modelo exponencial dP/dt = r·P: la curva dorada es la población P(t) y la curva teal es su tasa dP/dt en cada instante. Movete los controles y observá que la tasa no es un parámetro fijo: es un segundo trazo que vive del estado.

La curva dorada es el estado P(t); la curva teal es su derivada en cada instante. Ambas crecen juntas porque la tasa depende del nivel.

Preguntas para explorar

1. Con r = 0, ¿qué forma tienen P(t) y su tasa? ¿Qué estado es?
2. Duplicá P₀ con el mismo r. ¿Se duplica solo el final o toda la curva?
3. ¿Por qué la tasa teal no puede dibujarse sin conocer primero el estado?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: clasificar variables

Sin ejecutar primero: de N, entrada, r y dN_dt, ¿cuál es estado? Después comprobalo con el diccionario.

rol = {"N": "estado", "entrada": "parametro", "r": "parametro", "dN_dt": "calculada"}

for nombre, familia in rol.items():
    print(nombre, "→", familia)

Ejercicio 2: tasa desde el estado

Si P = 50 y r = 0,2, ¿cuánto vale dP/dt? ¿Y si P se duplica? Comprobalo con código.

def tasa(estado, r):
    return r * estado["P"]


print(tasa({"P": 50.0}, 0.2))
print(tasa({"P": 100.0}, 0.2))

Ejercicio 3: vector SIR mínimo

Armá el vector de estado SIR y una función que devuelva sus tres tasas con contagio beta e recuperación gamma. Probala con S=90, I=10, R=0.

def tasas_sir(estado, beta, gamma, N):
    S, I = estado["S"], estado["I"]
    contagio = beta * S * I / N
    return {"dS_dt": -contagio, "dI_dt": contagio - gamma * I, "dR_dt": gamma * I}


print(tasas_sir({"S": 90.0, "I": 10.0, "R": 0.0}, 0.3, 0.1, 100))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los modelos dinámicos: cuando el presente depende del pasado a través de estas tasas.