Modelos dinámicos

01 · Punto de partida

Lo que pasó condiciona lo que viene

Un tanque vacío se llena rápido y uno casi lleno con la misma canilla apenas sube si el desagüe depende del nivel. Una epidemia con 10 infectados crece distinto que con 10.000. En ambos casos el presente depende del pasado a través del estado acumulado: eso es un modelo dinámico.

Lo contrario es un modelo estático: una foto que calcula una salida desde una entrada sin memoria (costo = precio × cantidad). Útil, pero incapaz de contar una historia en el tiempo.

• ¿El resultado depende solo de hoy o también de ayer?
• ¿El estado aparece en su propia tasa de cambio?
• ¿Hay realimentación: el nivel frena o acelera su crecimiento?
• ¿Hacia dónde se movería solo, sin tocar nada?

02 · Definición

¿Qué hace dinámico a un modelo?

Tres ingredientes lo distinguen de una fórmula estática:

La prueba es directa: si en la tasa aparece el estado x, el modelo es dinámico. Si solo aparecen entradas y parámetros, es estático.

03 · Anatomía

Realimentación negativa y positiva

La realimentación es el carácter del modelo dinámico:

Negativa (estabiliza)

Más estado, menos crecimiento: desagüe proporcional al nivel, enfriamiento, saciedad. Busca el equilibrio.

Positiva (amplifica)

Más estado, más crecimiento: contagios, intereses, divisiones. Se escapa del equilibrio.

Equilibrio dinámico

Tasa cero con flujos activos: entra lo mismo que sale. El sistema se mueve para quedarse quieto.

Acoplamiento

Un estado mueve la tasa de otro: S alimenta a I, la posición alimenta a la velocidad.

04 · Dinámica en modelos clásicos

Dónde vive la memoria en cada dominio

La misma pregunta —¿el estado aparece en su tasa?— clasifica cada modelo:

1. 1
   Tanque con desagüe libre.

   dN/dt = q − k·N. Negativa pura: un solo equilibrio estable en N* = q/k.

2. 2
   Enfriamiento.

   dT/dt = −k·(T − T_amb). Negativa hacia el ambiente: la taza olvida su pasado.

3. 3
   Crecimiento temprano.

   dP/dt = r·P. Positiva pura: el pasado acelera el futuro.

4. 4
   Logístico.

   dP/dt = r·P·(1 − P/K). Positiva al inicio, negativa cerca del techo: dos equilibrios.

5. 5
   SIR.

   Tres estados acoplados: la realimentación cruza de S a I y de I a R.

05 · Representación en Python

Si la tasa usa el estado, es dinámico

En Python la diferencia se ve en una línea: ¿la función de tasas recibe el estado o solo parámetros? Si lo recibe y lo usa, el modelo tiene memoria.

def estatico(litros, precio):
    return litros * precio


def dinamico(estado, entrada, k):
    # La tasa usa el estado: hay realimentacion negativa.
    return entrada - k * estado["N"]


print("estatico:", estatico(10, 2))
print("dinamico en N=10:", dinamico({"N": 10.0}, 3, 0.2))
print("dinamico en N=20:", dinamico({"N": 20.0}, 3, 0.2))

Con el mismo caudal de entrada, en N = 20 la tasa es negativa: el sistema se frena solo.

Equilibrio de un vistazo

El equilibrio anula la tasa: entrada − k·N* = 0 → N* = entrada/k. Sin integrar ya sabemos a dónde va:

def equilibrio_tanque(entrada, k):
    return entrada / k


for k in [0.1, 0.2, 0.5]:
    print(k, "→ N* =", equilibrio_tanque(3, k))

06 · Exploración

Laboratorio: el tanque que se frena solo

Tanque con desagüe proporcional: dN/dt = entrada − k·N. La línea punteada es el equilibrio N* = entrada/k. Partí de abajo o de arriba y observá que todas las curvas convergen al mismo nivel: la realimentación negativa borra el pasado.

Todas las trayectorias se acercan a la línea de equilibrio: la memoria del inicio se pierde y solo quedan la entrada y el desagüe.

Preguntas para explorar

1. Con entrada 3 y k 0,2, partí de N₀ = 2 y de N₀ = 28. ¿A dónde llegan ambas?
2. Duplicá k con la misma entrada. ¿El equilibrio sube o baja? ¿La llegada es más rápida o más lenta?
3. ¿Qué pasa con entrada 0? ¿Cuál es el equilibrio y qué significa?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: detectar dinámica

Sin ejecutar primero: ¿cuál de estas tasas es dinámica? Después comprobalo mirando si usa el estado.

def tasa_a(estado, q):
    return q


def tasa_b(estado, q, k):
    return q - k * estado["N"]


print("A en N=5 :", tasa_a({"N": 5.0}, 3))
print("A en N=25:", tasa_a({"N": 25.0}, 3))
print("B en N=5 :", tasa_b({"N": 5.0}, 3, 0.2))
print("B en N=25:", tasa_b({"N": 25.0}, 3, 0.2))

Ejercicio 2: calcular el equilibrio

Con entrada 4 y k = 0,25, ¿cuál es N*? ¿Y la tasa en N = 10 y en N = 20?

def equilibrio(entrada, k):
    return entrada / k


def tasa(estado, entrada, k):
    return entrada - k * estado["N"]


print("N* =", equilibrio(4, 0.25))
print("tasa en 10:", tasa({"N": 10.0}, 4, 0.25))
print("tasa en 20:", tasa({"N": 20.0}, 4, 0.25))

Ejercicio 3: simular la convergencia

Integrá con Euler fino desde N₀ = 2 hasta T = 30 con dt = 0,5. ¿A qué valor llega?

def simular(entrada, k, n0, t_final, dt=0.5):
    n, t = n0, 0.0
    while t < t_final - 1e-9:
        n = n + (entrada - k * n) * dt
        t += dt
    return round(n, 2)


print(simular(3, 0.2, 2, 30))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la evolución temporal: cómo leer y comparar trayectorias completas.