Evolución temporal

01 · Punto de partida

Del valor suelto a la historia completa

Saber que el tanque está en 12 litros hoy dice poco: ¿viene subiendo o bajando? ¿Rápido o lento? ¿Hacia dónde va? La evolución temporal responde con la curva completa N(t) desde el inicio hasta el horizonte, no con un número aislado.

Leer trayectorias es la habilidad central del curso: comparar curvas, detectar el transitorio del arranque y el régimen permanente del final.

• ¿La curva sube, baja o se queda?
• ¿El cambio es rápido al inicio y lento después, o al revés?
• ¿Distintos inicios llegan al mismo final?
• ¿Qué parte de la curva responde la pregunta?

02 · Definición

¿Qué es la evolución temporal?

Toda evolución se lee en tres momentos:

Dos trayectorias con el mismo régimen pueden tener transitorios opuestos (una sube, otra baja). Y dos con el mismo arranque pueden separarse por un parámetro distinto.

03 · Anatomía

Comparar trayectorias como un profesional

Una sola curva informa; varias curvas explican. Al comparar, mirá en este orden:

Mismo modelo, distintos inicios

¿Se juntan? Si sí, el régimen borra el pasado (atractor). Si no, el inicio decide el final.

Mismo inicio, distintos parámetros

¿Se separan? El parámetro que más abre el abanico es el más influyente (sensibilidad).

Corto vs largo plazo

Al inicio manda N₀; al final mandan entradas y tasas. No extrapoles el arranque.

Distancia al régimen

¿En T ya llegó o sigue en viaje? Simular más allá de T puede cambiar la conclusión.

04 · Evoluciones típicas

Cinco formas que verás una y otra vez

Casi toda trayectoria continua del curso es una de estas cinco:

1. 1
   Recta.

   Tasa fija: N(t) = N₀ + q·t. Sin freno ni aceleración.

2. 2
   Acercamiento.

   Realimentación negativa: sube o baja suavizándose hacia N*.

3. 3
   Despegue.

   Realimentación positiva: crecimiento que se empina (exponencial).

4. 4
   S.

   Positiva y luego negativa: despega y se frena en el techo (logístico).

5. 5
   Joroba.

   Sube y baja: infectados SIR que crecen y luego caen por falta de susceptibles.

05 · Representación en Python

Una trayectoria es una lista de (t, x)

En Python, la evolución es una historia: lista de pares tiempo-estado con la solución analítica o numérica. Guardar varios inicios permite comparar convergencia.

import math


def evolucion_tanque(q, k, n0, t_final, n=6):
    neq = q / k
    return [(round(t_final * i / n, 1), round(neq + (n0 - neq) * math.exp(-k * t_final * i / n), 2)) for i in range(n + 1)]


for t, n in evolucion_tanque(3, 0.2, 2, 10):
    print(f"t={t}: N={n}")

La curva parte de 2 y se acerca a 15: el transitorio sube y el régimen se queda.

Comparar tres inicios

El mismo modelo desde tres arranques cuenta la convergencia mejor que cualquier tabla:

def final_desde(q, k, n0, t_final):
    import math
    return round(q / k + (n0 - q / k) * math.exp(-k * t_final), 2)


for n0 in [2, 15, 28]:
    print(n0, "→", final_desde(3, 0.2, n0, 30))

06 · Exploración

Laboratorio: tres inicios, un destino

Tanque con desagüe desde N₀ = 2, 15 y 28 con tu entrada y tu k. La punteada es N*. Cambiá los parámetros y observá dos cosas: a dónde van (régimen) y qué tan rápido llegan (transitorio).

El abanico inicial se cierra sobre el equilibrio: el transitorio separa, el régimen junta.

Preguntas para explorar

1. Con k = 0,05, ¿el abanico se cierra en T = 30? ¿Qué dice eso del transitorio?
2. Subí la entrada al doble con el mismo k. ¿Se mueven las tres curvas igual?
3. ¿Qué horizonte elegirías para afirmar «ya llegaron» con k pequeño?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer el transitorio

Con q = 3, k = 0,2 y N₀ = 2, ¿N(5) está más cerca del inicio o del equilibrio 15? Comprobalo.

import math


def n_t(q, k, n0, t):
    return q / k + (n0 - q / k) * math.exp(-k * t)


print(round(n_t(3, 0.2, 2, 5), 2))

Ejercicio 2: medir la convergencia

Calculá la separación entre N₀ = 2 y N₀ = 28 en t = 0 y en t = 30. ¿Se cierra el abanico?

import math


def separacion(q, k, t):
    return abs(28 - 2) * math.exp(-k * t)


print("t=0 :", round(separacion(3, 0.2, 0), 2))
print("t=30:", round(separacion(3, 0.2, 30), 2))

Ejercicio 3: elegir el horizonte

Escribí una función que devuelva el tiempo necesario para estar al 95 % del camino al equilibrio. Probala con k = 0,2 y k = 0,05.

import math


def tiempo_95(k):
    return round(-math.log(0.05) / k, 1)


print(tiempo_95(0.2))
print(tiempo_95(0.05))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las tasas de cambio: las velocidades instantáneas que esculpen estas formas.