01 · Punto de partida
La pendiente cuenta la historia antes que la curva
Dos tanques en 12 litros pueden vivir futuros opuestos: uno sube a +2 por minuto y otro baja a −1. El nivel es el mismo, la tasa no. Quien mira solo el estado ve una foto; quien mira la derivada ve la película que viene.
La tasa responde tres preguntas de un vistazo: ¿hacia dónde va (signo)?, ¿qué tan rápido (magnitud)?, ¿se acelera o se frena (cómo cambia la tasa)?
- ¿La curva sube, baja o reposa en este instante?
- ¿El cambio es vertiginoso o apenas perceptible?
- ¿La velocidad crece o se agota con el nivel?
- ¿Dónde se anula la tasa y qué pasa ahí?
02 · Definición
¿Qué es una tasa de cambio?
La tasa tiene tres lecturas inseparables:
Signo
Dirección: positiva sube, negativa baja, cero reposa. Ejemplo: +2 L/min frente a −1 L/min en el mismo nivel.
Magnitud
Velocidad: cuánto cambiaría por unidad de tiempo si todo siguiera igual. Ejemplo: 5 °C/h se nota; 0,1 °C/h no.
Dependencia
Regla: ¿la tasa es fija, depende del estado o del tiempo? Ejemplo: q − k·N se achica al subir N.
Intuición programadora: la tasa es lo que multiplicás por un dt chico para estimar el próximo valor. Euler entero cabe en esa frase.
| Tasa | Lectura | La curva… |
|---|---|---|
| +2,0 por min | Sube rápido | Trepa empinada. |
| −0,2 por min | Baja despacio | Desciende suave. |
| 0 | Reposa | Horizontal: equilibrio. |
| +5 → +1 → 0 | Se agota | Sube frenándose hacia el techo. |
03 · Anatomía
Tres familias de tasas
La forma de f decide la forma de la historia:
- Tasa constante
- f = q: la pendiente nunca cambia. Rectas. Ejemplo: tanque con caudales fijos.
- Tasa dependiente del estado
- f(x): la pendiente cambia con el nivel. Curvas que se doblan. Ejemplo: q − k·N, r·P.
- Tasa dependiente del tiempo
- f(t): el entorno impone el ritmo. Ejemplo: lluvia u(t) por horas, dosis programada.
- Cero de la tasa
- f = 0: pendiente nula, posible equilibrio. Ejemplo: N* = q/k, T = T_amb.
Tasa fija
Velocidad crucero
dN/dt = +1 siempre: la curva es una recta hasta chocar con un tope o el piso. Predecible y frágil.
Tasa con realimentación
Velocidad que se regula
dN/dt = 3 − 0,2·N: en N = 2 corre a +2,6; en N = 14 apenas +0,2. La curva se suaviza sola.
04 · Tasas en modelos clásicos
La misma pendiente, cinco acentos
Cada modelo del curso es una forma distinta de escribir f:
- 1Tanque fijo.
f = q_in − q_out. Recta hasta el piso o el tope.
- 2Desagüe libre.
f = q − k·N. Se agota hacia N*: acercamiento.
- 3Enfriamiento.
f = −k·(T − T_amb). Se agota hacia el ambiente.
- 4Exponencial.
f = r·P. Crece con el nivel: despegue.
- 5Logístico.
f = r·P·(1 − P/K). Crece y luego se agota: forma S.
05 · Representación en Python
La tasa es una función, no un número
En Python, la tasa es una función f(estado, …) que se evalúa en cada instante. El número cambia; la regla queda.
Python en tu navegador. Estos bloques se ejecutan localmente con Pyodide, sin instalar nada. Evaluá la misma tasa en varios niveles y dibujá mentalmente la pendiente.
def tasa_tanque(nivel, entrada, k):
return entrada - k * nivel
for n in [2, 10, 15, 20]:
print(n, "→", round(tasa_tanque(n, 3, 0.2), 2))La tasa cae de +2,6 a −1,0 al subir el nivel: el cero está en N* = 15.
Del signo al pronóstico
Sin integrar ya se puede pronosticar la dirección con el signo:
def direccion(nivel, entrada, k):
tasa = tasa_tanque(nivel, entrada, k)
if tasa > 0:
return f"sube ({tasa:.2f}/min)"
if tasa < 0:
return f"baja ({tasa:.2f}/min)"
return "reposa (equilibrio)"
for n in [2, 15, 25]:
print(n, direccion(n, 3, 0.2))06 · Exploración
Laboratorio: el nivel y su velocidad se apagan juntos
Tanque con desagüe: la curva dorada es N(t) y la teal es su tasa dN/dt(t). La tasa empieza grande y muere en cero sobre el equilibrio punteado. Movete los controles y observá que la velocidad cuenta el futuro antes que el nivel.
Nivel y pendiente acoplados
N(t) y dN/dt = entrada − k · N
De +2,60 inicial a +0,01 final: la velocidad se agota sobre N* = 15.
La tasa teal usa su propia escala (derecha conceptual): lo que importa es su signo, su tamaño relativo y su cero, no su altura en píxeles.
Preguntas para explorar
- Con N₀ = 28, ¿qué signo tiene la tasa inicial? ¿Qué forma tiene N(t)?
- Duplicá k con la misma entrada. ¿La tasa inicial cambia? ¿Y la final?
- ¿En qué instante la tasa vale la mitad que al inicio? ¿Depende de N₀?
Ver respuestas sugeridas
- Negativa (−2,6): N(t) baja hacia 15. La misma N* atrae desde arriba.
- La inicial sube (más freno con el mismo nivel) y la final sigue ≈ 0: el equilibrio cambia pero la tasa final siempre muere.
- A t = ln(2)/k ≈ 3,5 min con k = 0,2, igual para todo N₀: la memoria decae con vida media 1/k.
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Tasa e incremento son lo mismo»
El incremento es tasa × dt y depende del paso elegido. La tasa es intrínseca al sistema en ese instante.
«Si el nivel es alto, la tasa es alta»
Depende de f: en el desagüe, nivel alto significa tasa baja o negativa. Nivel y tasa no son lo mismo.
«Tasa cero significa sistema apagado»
En N* = 15 entran y salen 3 por minuto: la tasa neta es cero con flujos activos. Reposa el nivel, no el flujo.
«La pendiente se mide entre dos puntos»
Eso es la tasa media. La instantánea es el límite con dt → 0: la tangente, no la secante entre mediciones.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: leer signo y magnitud
Con entrada 3 y k = 0,2, ordená estos niveles de mayor a menor tasa. Después comprobalo.
def tasa(n, q=3, k=0.2):
return q - k * n
for n in [0, 5, 15, 30]:
print(n, round(tasa(n), 2))Ver solución
0 → +3,0 · 5 → +2,0 · 15 → 0 · 30 → −3,0. A más nivel, menos tasa: el orden es 0, 5, 15, 30.
Ejercicio 2: vida media de la tasa
La tasa decae como e^(−k·t). ¿En cuánto tiempo se reduce a la mitad con k = 0,2? ¿Y con k = 0,5?
import math
def vida_media(k):
return round(math.log(2) / k, 2)
print(vida_media(0.2))
print(vida_media(0.5))Ver solución
3,47 y 1,39 min: más k, muerte más rápida de la velocidad. N₀ no aparece en la cuenta.
Ejercicio 3: tasa desde dos estados
Escribí la tasa del enfriamiento dT/dt = −k·(T − T_amb) y evaluála en T = 80 y T = 30 con k = 0,1 y T_amb = 20.
Ver una posible respuesta
def tasa_enfriamiento(t, k=0.1, t_amb=20):
return -k * (t - t_amb)
print(tasa_enfriamiento(80))
print(tasa_enfriamiento(30))Da −6,0 y −1,0 °C por minuto: caliente se enfría rápido, tibio casi no. La misma regla, dos velocidades.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- dx/dt es pendiente: signo = dirección, magnitud = velocidad, cero = equilibrio.
- La tasa es función f(estado, …), no número suelto: se evalúa en cada instante.
- Con realimentación negativa la tasa se agota sola hacia el equilibrio con vida media 1/k.
- En Python: función tasa_* separada, siempre en unidades por tiempo.
- Leer la tasa pronostica sin integrar: el nivel cuenta el hoy, la pendiente cuenta el mañana.
En el próximo tema escribiremos estas tasas como ecuaciones diferenciales: el lenguaje formal del cambio continuo.