01 · Punto de partida
De la frase a la fórmula
«El tanque sube si entra más de lo que sale» es una frase. dN/dt = entrada − k·N es un modelo: dice lo mismo pero con precisión suficiente para calcular. La ecuación diferencial convierte la intuición de la tasa en un objeto matemático que se puede analizar, programar e integrar.
Todo lo visto hasta ahora —niveles, tasas, equilibrios— cabe en una línea con esta forma: derivada = regla.
- ¿Qué estado se deriva a la izquierda?
- ¿Qué regla produce la tasa a la derecha?
- ¿Qué parámetros y entradas aparecen?
- ¿Qué condición inicial la acompaña?
02 · Definición
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una EDO tiene cuatro piezas visibles:
Derivada
Lo que cambia: dx/dt, dN/dt, dT/dt. Siempre a la izquierda del igual.
Regla f
Cómo cambia: q − k·N, r·P, −k·(T − T_amb). La hipótesis del modelo.
Condición inicial
Dónde arranca: N(0) = 2. Sin ella hay infinitas curvas paralelas.
La ecuación sola describe el campo de pendientes; con la condición inicial elige una curva. Esa separación —regla vs arranque— ordena todo el curso.
| EDO | Estado | Regla y parámetros |
|---|---|---|
| dN/dt = 3 − 2 | N(t) | Tasa fija: sin parámetros libres. |
| dN/dt = q − k·N | N(t) | Lineal: q y k configuran N* = q/k. |
| dP/dt = r·P | P(t) | Proporcional: r manda el despegue. |
| dT/dt = −k·(T − T_amb) | T(t) | Con entrada T_amb impuesta. |
03 · Anatomía
Lo que la ecuación ya dice sin integrar
Antes de simular, la EDO responde tres cosas con lápiz:
- Equilibrios
- Resolver f(x) = 0: dónde la pendiente se anula. Ejemplo: q − k·N = 0 → N* = q/k.
- Signo por tramos
- Probar un valor a cada lado del equilibrio: dice si la curva sube o baja ahí.
- Dimensión y unidades
- Izquierda: [nivel]/[tiempo]. Derecha debe igualarla: cada término en L/min, °C/h.
- Orden y tamaño
- Orden: mayor derivada (aquí 1). Tamaño: cuántos estados (aquí 1; SIR tiene 3).
Ecuación lineal
dN/dt = q − k·N
Un equilibrio N* = q/k, signo positivo abajo y negativo arriba. Predice convergencia sin integrar.
Ecuación proporcional
dP/dt = r·P
Equilibrio en P = 0, signo igual al de P si r > 0. Predice despegue sin integrar.
04 · Traducciones típicas
De la frase del dominio a la EDO
Traducir es el oficio: cada verbo del fenómeno tiene su término en f:
- 1«Entra fijo, sale fijo».
dN/dt = q_in − q_out. Recta.
- 2«Sale según lo que hay».
dN/dt = q − k·N. Acercamiento a q/k.
- 3«Se enfría hacia el ambiente».
dT/dt = −k·(T − T_amb). Acercamiento a T_amb.
- 4«Crece según lo que hay».
dP/dt = r·P. Despegue exponencial.
- 5«Contagia al cruzarse».
dI/dt = β·S·I/N − γ·I. Joroba con pico.
05 · Representación en Python
La EDO es una función f(estado, t)
En Python, la EDO es una función que recibe estado y tiempo y devuelve la derivada. El integrador (Euler, RK) la llama miles de veces; la condición inicial arranca la historia.
Python en tu navegador. Estos bloques se ejecutan localmente con Pyodide, sin instalar nada. Cambiá q y k y verificá que el equilibrio se mueve a q/k.
def f_tanque(nivel, t, q, k):
return q - k * nivel
for n in [2, 15, 25]:
print(n, "→ f =", round(f_tanque(n, 0, 3, 0.2), 2))f cambia de +2,6 a −2,0 al cruzar N* = 15: la ecuación contiene la convergencia.
Equilibrio y dirección desde f
Sin integrar se extraen el cero y el signo a cada lado:
def equilibrio(q, k):
return q / k
def direccion(n, q=3, k=0.2):
v = f_tanque(n, 0, q, k)
return "sube" if v > 0 else "baja" if v < 0 else "equilibrio"
print("N* =", equilibrio(3, 0.2))
for n in [5, 15, 25]:
print(n, direccion(n))06 · Exploración
Laboratorio: la ecuación dibuja su curva
Modelo dN/dt = q − k·N con tu q, tu k y tu N₀. Arriba ves la ecuación viva con sus números; abajo, la curva que genera y la recta de pendientes (tasa frente a nivel) con su cero en N*. Tocá un parámetro y mirá los tres paneles a la vez.
De f a la trayectoria
dN/dt = 3 − 0,2 · N · N(0) = 2
Con q 3 y k 0,2, N* = 15 y la pendiente inicial es +2,60.
Izquierda: trayectoria N(t) con equilibrio punteado. Derecha: recta de pendientes f(N) con su cero: el signo a cada lado anticipa la curva.
Preguntas para explorar
- Con q = 0, ¿cómo queda la ecuación y a dónde va cualquier N₀?
- Duplicá q y k juntos (6 y 0,4). ¿Cambia N*? ¿Cambia la velocidad?
- Si N(0) = N*, ¿qué curva dibuja? ¿Qué dice f ahí?
Ver respuestas sugeridas
- dN/dt = −k·N: decaimiento puro hacia 0. El equilibrio se muda al origen.
- N* = 15 igual, pero llega al doble de rápido: q/k fija el destino, k fija la velocidad.
- Horizontal en N*: f = 0 y la condición inicial ya está en el equilibrio.
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«La EDO ya es la solución»
No: la EDO es la regla de pendientes; la solución N(t) es la curva que la cumple desde N(0). Una EDO, infinitas curvas; una condición inicial, una.
«f(N) es el nivel»
f devuelve velocidad (L/min), no litros. Igualar f con N mezcla dimensiones y rompe el modelo.
«Sin N(0) igual simulo»
Sin arranque el integrador no tiene dónde pararse: cualquier traslación vertical cumple la misma EDO.
«Ecuación lineal significa recta»
Lineal en N significa f recta en el plano (N, f): la solución N(t) es una curva que se suaviza, no una recta.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: escribir la EDO
Traducí «entra 5 por minuto, sale el 10 % del nivel por minuto» a f y evaluála en N = 10 y N = 60.
def f(nivel, q=5, k=0.1):
return q - k * nivel
print(round(f(10), 2))
print(round(f(60), 2))Ver solución
+4,0 y −1,0: el equilibrio está en N* = 50. La frase quedó convertida en regla computable.
Ejercicio 2: chequear unidades
Si N está en litros y t en minutos, ¿en qué unidades están q = 3 y k = 0,2? Verificá que cada término iguale L/min.
print("q: L/min, k: 1/min")
print("k*N: (1/min)*L = L/min ✓")
print("q - k*N: L/min ✓")Ver solución
q en L/min y k en 1/min: k·N da L/min y la resta cierra. Sin este chequeo, la EDO puede ser poesía con símbolos.
Ejercicio 3: del cero al pronóstico
Escribí equilibrio() y pronostico() que diga «sube / baja / reposa» desde cualquier N. Probalas con q = 3, k = 0,2.
Ver una posible respuesta
def equilibrio(q, k):
return q / k
def pronostico(n, q=3, k=0.2):
v = q - k * n
if v > 0:
return "sube"
if v < 0:
return "baja"
return "reposa"
print(equilibrio(3, 0.2))
for n in [5, 15, 25]:
print(n, pronostico(n))N* = 15; 5 sube, 15 reposa, 25 baja. Pronóstico sin integrar: la EDO ya lo dice.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- EDO = derivada igualada a regla: dx/dt = f(x, t), más x(0), es un modelo completo.
- La ecuación anticipa equilibrios (f = 0) y direcciones (signo) sin integrar.
- Chequear unidades iguala [nivel]/[tiempo] a cada lado: es el primer test del modelo.
- En Python: f(estado, t, …) separada del integrador; la condición inicial es otro argumento.
- Recta de pendientes f(N) y trayectoria N(t) son dos caras de la misma regla.
En el próximo tema bajaremos a las ecuaciones de primer orden: la forma dx/dt = f(x, t) en detalle.