Sensibilidad a condiciones iniciales

01 · Punto de partida

El decimal que cambia todo

En el Tema 42 la misma causa con distintas suertes daba banda. Ahora la misma suerte con distinta décima da otro final: dos inicios casi iguales que se pierden de vista. La sensibilidad une no linealidad (Tema 24), réplicas (Tema 42) y caos en dos trayectorias gemelas.

Por eso el pronóstico tiene vencimiento: con amplificación, el error chico de hoy es el error enorme de mañana. Medir es fechar hasta cuándo creer.

• ¿Cuánto difieren los dos inicios?
• ¿Qué tasa amplifica la diferencia?
• ¿En cuántos ticks se pierden de vista?
• ¿Hasta cuándo el pronóstico vale?

02 · Definición

Inicio, divergencia y horizonte

Toda sensibilidad combina de dónde se parte, cuánto se separan y hasta cuándo vale:

03 · Régimen

Amortigua frente a amplifica

La tasa decide más que la décima: chica perdona, grande castiga.

Sensibilidad

Amplificación de d inicial en divergencia final. Se mide con |Δ| y horizonte en ticks.

Caos

Sensible acotado: diverge sin escapar. Gemelos distintos dentro de la misma cancha.

Horizonte

Ticks hasta cruzar el umbral de tolerancia: vencimiento declarado del pronóstico.

Atractor

Zona donde caen los finales aunque partan distinto: lo que sobrevive a la divergencia.

04 · Ciclo

La ronda que clona y mide

Cada prueba corre dos gemelos con la misma regla, en este orden:

1. 1
   Clonar el inicio.

   x0 y x0 + d con la misma semilla: gemelos que solo difieren en d.

2. 2
   Correr gemelos.

   Misma tasa r los mismos ticks: la amplificación trabaja sola.

3. 3
   Medir la brecha.

   |A − B| final y horizonte al umbral 0,2: número con vencimiento.

05 · Representación en Python

Gemelos que se miden

La logística con r alta amplifica; la brecha se mide con resta absoluta.

def paso(x, r=3.7):
    return r * x * (1 - x)

def diverge(x0=0.2, d=0.01, r=3.7, T=30):
    a, b = x0, x0 + d
    for _ in range(T):
        a, b = paso(a, r), paso(b, r)
    return round(abs(a - b), 3)

print(diverge(), diverge(r=2.5))

Con r 3,7 la décima explota y con 2,5 muere: la tasa decide, no la décima.

Horizonte con umbral

Contar ticks hasta cruzar 0,2: vencimiento del pronóstico.

def horizonte(x0=0.2, d=0.01, r=3.7, umbral=0.2, T=60):
    a, b = x0, x0 + d
    for t in range(T):
        a, b = paso(a, r), paso(b, r)
        if abs(a - b) > umbral:
            return t + 1
    return T

print(horizonte())

06 · Exploración

Laboratorio: gemelos que se pierden

Mapa logístico x ← r·x·(1−x) desde 0,2 y 0,2 + diferencia. Misma regla con tasa r durante ticks. Celeste gemelo A, naranja gemelo B. ¿Cuánta tasa hace falta para que la décima importe?

Dos curvas con la misma r y sin ruido: solo cambia la décima inicial. La tasa alta amplifica, la baja perdona. La réplica mueve apenas el x0 de base con la misma diferencia.

Preguntas para explorar

1. Con r baja y diferencia máxima, ¿hay brecha? ¿Por qué sin amplificación la décima muere?
2. Subí r al máximo con diferencia mínima. ¿La brecha aparece igual? ¿Quién manda: d o r?
3. Repetí 3 veces con valores medios. ¿El horizonte es idéntico? ¿Qué parte es régimen y qué parte es punto?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tasa que decide

Ejecutá y compará r sensible contra r estable. Luego probá d el doble.

def diverge(x0=0.2, d=0.01, r=3.7, T=30):
    def paso(x): return r * x * (1 - x)
    a, b = x0, x0 + d
    for _ in range(T):
        a, b = paso(a), paso(b)
    return round(abs(a - b), 3)

print(diverge(), diverge(r=2.5), diverge(d=0.02))

Ejercicio 2: predecir el abrazo

Sin ejecutar primero: r = 2,0 con gemelos 0,3 y 0,31. ¿Brecha final grande o chica?

r = 2.0
print("chica" if r < 3 else "grande")

Ejercicio 3: horizonte que vence

Si la brecha cruza 0,2 en el tick 12, ¿hasta cuándo vale el pronóstico? Escribilo.

print(12)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos los comportamientos emergentes: métricas para el orden colectivo.