Transiciones

01 · Punto de partida

Antes de los números, las flechas

Con los estados (Tema 21) sabemos dónde estar; falta a dónde se puede ir. ¿Del 0 se llega al 2 en un paso? ¿El 3 se queda quieto? Esas preguntas se responden con flechas, antes de ponerles probabilidad.

Una transición i→j posible significa pᵢⱼ > 0; imposible, pᵢⱼ = 0. El conjunto de flechas es el grafo de la cadena.

• ¿Desde i a qué j se puede ir en un paso?
• ¿Hay autorretención i→i (quedarse)?
• ¿Algún salto es imposible (p = 0)?
• ¿El grafo conecta todo o hay islas?

02 · Definición

¿Qué es una transición?

Tres ideas la completan:

Del grafo salen las preguntas de los Temas 29–35: ¿todo se comunica (irreducible)?, ¿hay salida de i (transitorio)?, ¿i se queda para siempre (absorbente)?

03 · Anatomía

Vecinos, lazos y densidad

Cuatro lecturas del grafo:

Vecinos de i

Los j con flecha i→j. Lo que el simulador debe sortear desde i.

Autorretención i→i

Quedarse un paso más. Sin ella, la cadena se mueve siempre.

Densidad

Fracción de flechas sobre K² posibles. Densa = todo conecta; rala = caminos obligados.

Caminos

Secuencias de flechas: i→k→j llega en 2 pasos aunque i↛j directo.

04 · Ejemplos

Grafos que ya conocés

Antes de la matriz, dibujá las flechas:

1. 1
   Clima 2 nodos.

   4 flechas (con lazos): todo conecta con todo.

2. 2
   Cola 0…K.

   De i solo a i−1, i, i+1: escalera rala con bordes.

3. 3
   Servidor 3 modos.

   Libre ↔ ocupado, ocupado → caído → libre: ciclo con atajo.

4. 4
   Dado.

   De cualquier cara a cualquiera: grafo completo (6×6).

5. 5
   Absorbente.

   Estado con solo su lazo: del 2 no se sale (Tema 32).

05 · Representación en Python

El grafo es un dict de vecinos

En Python, las transiciones son un diccionario estado → lista de destinos. Es la matriz P sin números: dice a dónde, no con qué chance.

grafo = {
    0: [0, 1],   # desde 0: quedarse o avanzar
    1: [0, 1, 2],
    2: [1, 2],
}

def vecinos(i):
    return grafo.get(i, [])

print("vecinos de 1:", vecinos(1))
print("0->2 posible:", 2 in vecinos(0))

0→2 no es vecino directo de 0, pero 0→1→2 llega en dos pasos: camino sin flecha directa.

Densidad del grafo

Fracción de flechas sobre el máximo K²: mide cuánta movilidad hay:

grafo = {0: [0, 1], 1: [0, 1, 2], 2: [1, 2]}
K = 3
flechas = sum(len(v) for v in grafo.values())
print("flechas:", flechas, "| densidad:", round(flechas / K**2, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: armar el grafo de 4 estados

Anillo 0–1–2–3–0. Desde cada i: quedarse con q, avanzar con f, retroceder con el resto. El grosor marca la chance; si una chance cae bajo 0,05 la flecha desaparece (se vuelve imposible). Jugá hasta dejar islas.

Los 4 nodos forman el anillo; cada uno tiene su lazo y dos flechas vecinas. Si retroceder cae a 0, el anillo se vuelve de un solo sentido.

Preguntas para explorar

1. Con q = 0,9 y f = 0, ¿qué flechas quedan? ¿La cadena se mueve?
2. Con q = 0 y f = 1, ¿hay lazos? ¿A dónde va siempre cada estado?
3. ¿Podés dejar una isla (un estado sin llegada)? ¿Qué chances lo logran?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer vecinos

Con este grafo de cola 0…3, ¿a dónde se puede ir desde 0 y desde 3? ¿Hay 0→2?

grafo = {0: [0, 1], 1: [0, 1, 2], 2: [1, 2, 3], 3: [2, 3]}
print("desde 0:", grafo[0])
print("desde 3:", grafo[3])
print("0->2:", 2 in grafo[0])

Ejercicio 2: detectar absorbente

Sin ejecutar primero: ¿qué estado de este grafo es absorbente (solo su lazo)? Comprobalo.

grafo = {0: [0, 1], 1: [0, 1], 2: [2]}
print({i: v for i, v in grafo.items() if v == [i]})

Ejercicio 3: grafo → ceros de P

Construí la máscara de ceros (sin flecha = 0) para K = 3 con este grafo. ¿Cuántos ceros estructurales hay?

grafo = {0: [0, 1], 1: [1], 2: [0, 2]}
K = 3
ceros = [(i, j) for i in range(K) for j in range(K) if j not in grafo.get(i, [])]
print(ceros, len(ceros))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cuantificaremos cada flecha: probabilidades de transición.