Probabilidades de transición

01 · Punto de partida

De la flecha al número

El grafo (Tema 22) dice a dónde se puede ir; falta con qué chance. ¿Del 0 se va al 1 el 30 % o el 90 % de las veces? Esa es la probabilidad de transición pᵢⱼ.

Con todas las pᵢⱼ armamos la matriz P (Tema 24). Y cuando P se desconoce, se estima contando transiciones en una historia.

• ¿Qué vale pᵢⱼ = P(Xₙ₊₁ = j | Xₙ = i)?
• ¿Cuánto suma cada fila y por qué?
• ¿Cómo se estima pᵢⱼ desde datos: nᵢⱼ/nᵢ?
• ¿Cuántos pasos hacen falta para estimar bien?

02 · Definición

¿Qué es pᵢⱼ?

Tres caras del mismo número:

En la 2×2 bastan a = p₀₁ y b = p₁₀: p₀₀ = 1−a y p₁₁ = 1−b salen por complemento.

03 · Anatomía

Fila, cero y muestra

Cuatro reglas para no equivocarse:

Fila suma 1

Cada fila es una distribución del próximo paso. Si no suma 1, hay bug o redondeo.

Cero estructural

Sin flecha (Tema 22) ⇒ pᵢⱼ = 0 fijo. No se estima: se impone.

Visitas mandan

La fila i se estima con nᵢ visitas. Estado poco visitado = fila ruidosa.

Horizonte

Más pasos N, mejor p̂. El error cae ≈ 1/√nᵢ por fila.

04 · Ejemplos

Chances que un programador calibra

Toda P nace de contar o de experto; ambas se escriben pᵢⱼ:

1. 1
   Clima: 30 soles → 9 lluvias.

   p̂₀₁ = 9/30 = 0,3. Fila 0 estimada con n₀ = 30.

2. 2
   Servidor: 200 min ocupado.

   120 siguen ocupados: p̂₁₁ = 0,6.

3. 3
   Cola: nunca +2.

   pᵢ,ᵢ₊₂ = 0 estructural por grafo, sin estimar.

4. 4
   Dado cargado.

   Cada fila idéntica: pᵢⱼ = 1/6 con sesgo. Filas iguales = independencia.

5. 5
   Experto sin datos.

   «Caído→libre 0,9»: se declara y se refina con datos.

05 · Representación en Python

Contar nᵢⱼ y dividir por nᵢ

En Python, la estimación es matriz de conteos dividida por filas. La validación es que cada fila estimada sume 1.

import random

random.seed(7)
a, b, x, N = 0.3, 0.5, 0, 20
hist = [x]
for _ in range(N):
    x = 1 if random.random() < (a if x == 0 else 1 - b) else 0
    hist.append(x)

conteo = [[0, 0], [0, 0]]
for i in range(len(hist) - 1):
    conteo[hist[i]][hist[i+1]] += 1
print("conteos:", conteo)

Con N = 20 los conteos son flacos (algunos de 3–4). La estimación será ruidosa: normal con poca muestra.

De conteos a P estimada

Dividir cada fila por sus visitas:

conteo = [[14, 6], [5, 5]]
P_est = [[c / sum(f) for c in f] for f in conteo]
print(P_est)
print("filas:", [round(sum(f), 9) for f in P_est])

06 · Exploración

Laboratorio: estimar P contando

Cadena verdadera a = 0,3 y b = 0,5 (contorno blanco). Las barras estiman cada pᵢⱼ con N pasos. Con N = 100 el error es visible; con N = 20000 las barras se pegan al contorno. Generá nuevas historias con igual P.

Cuatro pares verdadero/estimado: p₀₀, p₀₁, p₁₀, p₁₁. El slider recorre N = 100, 500, 1000, 5000, 20000 en escala log.

Preguntas para explorar

1. Con N = 100, ¿el error máximo ronda cuánto? ¿Y con 20000?
2. ¿Qué fila se estima mejor: la del 0 o la del 1? ¿Por qué (visitas)?
3. Generá nuevas historias con igual N. ¿El error es fijo o fluctúa?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: completar por filas

Con a = 0,25 y b = 0,6, escribí la P 2×2 completa y verificá filas.

a, b = 0.25, 0.6
P = [[1 - a, a], [b, 1 - b]]
print(P)
print([sum(f) for f in P])

Ejercicio 2: estimar una fila

Sin ejecutar primero: con n₀ = 200 (140 se quedan, 60 salen), ¿qué p̂₀? Comprobalo.

print([140 / 200, 60 / 200])

Ejercicio 3: fila poco visitada

Compará el error de la fila 1 con n₁ = 20 vs n₁ = 2000 (p₁₁ = 0,5). ¿En qué factor cae?

import math
print(round(math.sqrt(2000 / 20), 1))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema ordenaremos todo en la matriz de transición.