Matriz de transición

01 · Punto de partida

Todas las chances en una tabla

Las pᵢⱼ sueltas (Tema 23) se ordenan en una tabla P de K×K: la fila i es el futuro estando en i. Con P y el estado actual se simula; con P y π(n) se predice (Tema 26).

Leer P es leer la cadena: diagonales altas = quietud, filas iguales = independencia, ceros = grafo (Tema 22).

• ¿Qué dice la fila i: a dónde va desde i?
• ¿Suman 1 todas las filas?
• ¿Dónde están los ceros y qué grafo dibujan?
• ¿Qué fila es más ruidosa (repartida) y cuál más segura?

02 · Definición

¿Qué es P?

Tres condiciones la definen:

Convención del curso: vectores fila π con π(n+1) = π(n)·P. Las columnas no suman 1 (salvo doble estocástica).

03 · Anatomía

Diagonal, ceros y filas

Cuatro lecturas rápidas de cualquier P:

Diagonal pᵢᵢ

Chance de quedarse. Cerca de 1 = quietud; 0 = movimiento obligado.

Ceros

Flechas ausentes del grafo. Estructurales: no se estiman.

Filas iguales

El próximo no depende del actual: rachas independientes (caso límite).

Filas concentradas

Un 0,95 en una columna = destino casi seguro desde esa fila.

04 · Ejemplos

Matrices que leerás de un vistazo

Antes de calcular, mirá la forma:

1. 1
   Identidad.

   Diagonal 1: cada estado absorbente. Nada se mueve.

2. 2
   Filas iguales.

   Cada fila [0,5 – 0,5]: el pasado no importa en absoluto.

3. 3
   Cola ±1.

   Solo diagonal y vecinas: escalera rala con bordes.

4. 4
   Absorbente en 2.

   Fila 2 = [0, 0, 1]: del 2 no se sale (Tema 32).

5. 5
   Ciclo 0→1→2→0.

   Unos rotando: determinista en sentido, aleatorio en espera.

05 · Representación en Python

P es lista de listas con filas = 1

En Python, P es lista de listas y el paso sortea la fila actual por acumulada. La validación recorre filas sumando.

P = [[0.6, 0.35, 0.05],
     [0.4, 0.5, 0.1],
     [0.9, 0.0, 0.1]]

def validar(P):
    return all(abs(sum(f) - 1) < 1e-9 and all(x >= 0 for x in f) for f in P)

print("filas:", [round(sum(f), 9) for f in P])
print("válida:", validar(P))

Cambiá un 0,35 por 0,45: la fila suma 1,1 y el validador la rechaza. Así se atrapan bugs de tipeo.

Sortear la fila actual

El motor de un paso que usará todo el bloque Markov:

import random

P = [[0.6, 0.35, 0.05],
     [0.4, 0.5, 0.1],
     [0.9, 0.0, 0.1]]

def paso(x, P=P):
    u, ac = random.random(), 0.0
    for j, p in enumerate(P[x]):
        ac += p
        if u < ac:
            return j

random.seed(7)
x = 1
for _ in range(6):
    x = paso(x)
    print(x, end=" ")

06 · Exploración

Laboratorio: leer P como mapa de calor

Anillo 0–1–2–3 con quedarse q, avanzar f y retroceder el resto (como el Tema 22, ahora con números). El color marca la chance: amarillo = casi seguro, oscuro = casi imposible. Movete q y f y mirá filas, diagonal y ceros.

Filas = desde, columnas = hacia. La diagonal es quedarse; las vecinas, avanzar/retroceder; el resto, ceros del anillo.

Preguntas para explorar

1. Con q = 0,9, ¿de qué color es la diagonal? ¿Y las vecinas?
2. Con q = 0 y f = 1, ¿cómo queda cada fila? ¿Cuántos ceros hay?
3. ¿Alguna fila deja de sumar 1 al mover los sliders? ¿Por qué no?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: validar y leer filas

Verificá esta P y leé en voz alta qué hace la fila 2.

P = [[0.6, 0.35, 0.05],
     [0.4, 0.5, 0.1],
     [0.9, 0.0, 0.1]]
print([sum(f) for f in P])
print("fila 2: 90% a 0, 0% a 1, 10% se queda")

Ejercicio 2: fila rota

Sin ejecutar primero: ¿esta P es válida? Detectá la fila rota.

P = [[0.5, 0.5], [0.3, 0.6]]
print([sum(f) for f in P])

Ejercicio 3: contar ceros

Contá ceros estructurales de una cola 0…4 (±1 con lazos) y calculá la densidad.

K = 5
P = [[1 if abs(i - j) <= 1 else 0 for j in range(K)] for i in range(K)]
ceros = sum(1 for i in range(K) for j in range(K) if P[i][j] == 0)
print("ceros:", ceros, "| densidad:", 1 - ceros / K**2)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema dibujaremos P: diagramas de transición.